Рівняння дотичної до графіка функції. Монотонність функції

Рівняння дотичної до графіка функції. Монотонність функції

Дотичною до графіка функціїF(x) у точці з абсцисою х₀ називається граничне положення січної до графіка даної функції, що проходить через дві точки графіка, одна з яких має абсцисух₀, якщо різниця абсцис цих точок прямує до нуля.

Зверніть увагу! Дотична до графіка функції має з даним графіком одну спільну точку лише в деякому околі точки дотику і може перетинати графік поза границями цього околу.

Якщо функція є диференційованою в деякій точці, то похідна функції в цій точці дорівнює кутовому коефіцієнтові дотичної в цій точці до графіка функції, тобто тангенсу куту нахилу дотичної в цій точці.

Якщо похідна функції в деякій точці дорівнює нулю, то дотична до графіка заданої функції в цій точці паралельна осі абсцис.

Рівняння дотичної до графіка функції F(x) у точці з абсцисою х₀ має такий вигляд: у = f(x₀) + f'(x₀)∙(х – х₀).

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції F(x) у точці з абсцисоюх₀, необхідно:

- знайти значення функції в заданій точці;

- знайти похідну функції;

- знайти значення похідної в заданій точці;

- знайти добуток похідної функції в точці і різниці аргументу функції та абсциси заданої точки;

- записати рівняння, ліва частина якого містить залежну змінну у, а права – суму знайденого добутку і значення функції в заданій точці.

Проміжки, на яких функція лише спадає або лише зростає, називаютьсяпроміжками монотонності функції.

У проміжках знакосталості похідної функції функція є монотонною.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції дорівнює нулю, то функція є сталою на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває додатних значень, то функція зростає на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває від’ємних значень, то функція спадає на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває недодатних значень, то функція незростаюча на цьому проміжку.

Якщо в кожній точці деякого проміжку похідна функції набуває невід’ємних значень, то функція неспадна на цьому проміжку.

Для функції, яка визначена на даному замкненому проміжку і не є такою, що постійно коливається, кожна точка проміжку (разом із кінцями) є кінцем і початком проміжків монотонності або сталості функції.

Pівняння дотичної до графіка функції в точці.

Рівень дотичної до графіка функції у = f(x), що проведена в точці з абсцисою х₀, що належить графіку функцій, має вигляд

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = ln х + х² в точці з абсцисою х₀= 1.

Розв’язання.  

Тому рівняння дотичної має вигляд: у = 1 + 3(х - 1), або після спрощення у = 3х - 2.

Приклад 2. Складіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х² - 4х + 7, яка паралельна прямій у = 2х.

Розв’язання. Кутовий коефіцієнт прямої у = 2х дорівнює 2. Тому кутовий коефіцієнт шуканої дотичної також має дорівнювати 2, оскільки вона паралельна до прямої у = 2х. Отже, f‘(х₀) = 2, де х₀ - шукана точка. Маємо f '(х) = 2х - 4. З рівняння 2х - 4 = 2 маємо х₀ = 3. Тоді f(3) = З² - 4 ∙3 + 7 = 4.

Шукане рівняння дотичної: у = 4 + 2(х - 3) або після спрощень у = 2х - 2.

Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку. Знаходження проміжків монотонності функції.

Проміжки на яких функція зростає чи спадає ще називають проміжками монотонності.

Достатня умова зростання (спадання) функції. Якщо f '(x) > 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у = f(x) зростає на (а;b), якщо f '(x) < 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у =f(x) спадає на (а;b).

Важливим є також поняття критичної точки. Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Для дослідження функції у = f(x) на зростання, спадання, доцільно використовувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції f '(x).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f ‘(x) не існує та розв’язки рівняння f ‘(x) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f (х) та знаходимо знак похідної f '(x) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку).

5) Робимо висновок (відповідь).

Зауважимо, що якщо функція у = f (х) неперервна в якому-небудь кінці проміжку зростання чи спадання, то цю точку можна приєднувати до розглядуваного проміжку.

На схемах будемо використовувати знак  для позначення зростання на проміжку і знак для позначення спадання функції на проміжку.

Приклад 1. Знайдіть проміжки монотонності функції 

Розв’язання. 

3) Похідна існує в усіх точках області визначення f '(x) = 0, тоді - критичні точки.

4) Визначимо знак похідної в кожному з отриманих інтервалів (-∞;-3], [-3;0), (0;3], [3;+∞).

 (мал. 97).

5) Функція зростає на проміжках (-∞;-3] і [3;+∞), спадає на проміжках [- 3;0), (0;3].

Приклад 2. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції f(x) = х ln х.

Розв’язання. 1) D(f) = (0;+∞).

3) Похідна існує в усіх точках області визначення  — критична точка;

 (мал. 98).

5) Функція спадає на проміжку (0;1/e] зростає на проміжку [1/e;+∞).

Приклад 3. Скільки розв’язків має рівняння х⁵ + х + 1 = 0?

Розв’язання. Розглянемо функцію  Оскільки  для всіх значень х, то функція f(x) зростає при всіх значеннях х. Оскільки f(-1) = -1 - 1 + 1 = -1, аf(0) = 1, то на проміжку (—1;0) є корінь рівняння x⁵ + х + 1 = 0 (див. ілюстрацію на проміжку 99). Оскільки функція f(x) = х⁵ + х + 1 - зростає на (-∞;+∞), то більше рівняння х⁵ + х+ + 1 = 0 коренів немає.

Отже, рівняння х⁵ + х + 1 = 0 має єдиний розв’язок.