Фізичний зміст похідної. Геометричний зміст похідної.

Фізичний зміст похідної.

Фізичний зміст похідної полягає у наступному: якщо шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно, до моменту часу t(t > 0), визначається за формулою х(t), то швидкість руху υ(t) в момент часу і дорівнює похідній цієї функції:

а прискорення a(t) - похідній швидкості υ(t):

Приклад. Задано закон прямолінійного руху  (х - вимірюється у метрах,t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2с.

Розв’язання.

Геометричний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної полягає у наступному: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що приведена у точці цього графіка з абсцисою х₀ дорівнює похідній функції у =f(x) у цій точці (мал. 96), тобто

k = f '(x₀).

Оскільки k = tg α, де α - кут, який утворює дотична з додатнім напрямом осі абсцис, то у випадку f '(x₀) > 0, кут α - гострий, якщо f '(x₀) = 0, то дотична паралельна осі абсцис (або співпадає з нею), а у випадку f '(x₀) < 0, кут α - тупий.

Приклад 1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = х² вточці з абсцисою х₀ = -1.

Розв’язання. k = f '(-1). Оскільки f '(x) = (х²) = 2х, то k = 2 ∙ (-1) = -2.

Приклад 2. Знайдіть кут нахилу до осі абсцис дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = 2, що проведена в точці А(1; 2).

Розв’язання.  Тоді  a тому α = π/4.

Приклад 3. На графіку функції  знайдіть такі точки, в яких дотична, проведена до графіка функції, паралельна осі абсцис.

Розв’язання. Нехай х₀ - абсциса шуканої точки. Тоді, виходячи з умови f(х₀) = 0, маємо: 

Знаходимо x₀ = 0 або х₀ = -2. Отже, враховуючи,  такими точками є точки (0;0) і (2;-4).