Правила диференціювання функцій.

Правила диференціювання функцій. 

Похідна у фізиці і техніці

Знаходження числового значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу.

Звернемо увагу на те, що похідна функції - це також функція, а похідна функції в точці - це число. Для знаходження похідної функції в точці х₀, достатньо у похідну функції підставити точку х₀ і виконати обчислення.

Приклад 1. Дано функцію f(х) = х² + 5. Знайти f '(-2).

Розв’язання.  Тоді 

Приклад 2. Дано функцію g(x) = sin х + cos х. Порівняйте g'(0) і g'(π/2).

Розв’язання, Маємо 

Тоді  Тому 

Приклад 3. Знайдіть похідну функції  у точці -1.

Розв’язання.

Тоді 



Дії знаходження похідних функцій називаються диференціюванням функцій і виконуються за такими правилами:

- Похідна суми певної скінченої кількості функцій дорівнює сумі похідних доданків.

- Похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних зменшуваного і від’ємника.

- Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків першої функції на похідну другої функції і другої функції на похідну першої функції.

Зверніть увагу! Множник, що є константою (постійною величиною), можна виносити за символ похідної.

Похідна добутку константи і функції дорівнює добутку константи на похідну функції.

Похідна добутку трьох функцій дорівнює сумі трьох доданків, кожний із яких є добутком двох із даних функцій на похідну третьої функції.

- Похідна частки двох функцій дорівнює дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а чисельник – різниці між добутком дільника на похідну діленого і добутку, поділеного на похідну дільника.

Запам’ятайте! Похідною дробу, в чисельнику якого деяка функція, а в знаменнику константа, є дріб, у чисельнику якого похідна чисельника, а в знаменнику та ж сама константа.

Похідною дробу, в чисельнику якого константа, а в знаменнику деяка функція, є дріб, у чисельнику якого протилежна константа, помножена на похідну знаменника заданого дробу, а в знаменнику — квадрат знаменника заданого дробу.

- Похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції, помноженій на похідну внутрішньої функції, тобто похідна складеної функції дорівнює добутку похідних від функцій, що її становлять.

Наприклад, якщо задана функція у = sin²x, то внутрішньою функцією є тригонометрична функція синус х, а зовнішньою —степенева функція квадрат синуса х, тому похідною заданої функції буде добуток степененевої функції і тригонометричної функції, а саме 2 sin x cos x.

Похідні функцій знаходять своє застосування у фізиці і техніці.

Запам’ятайте! Швидкість руху тіла є похідною відстані як функції часу.

Прискорення руху тіла є похідна швидкості або друга похідна відстані як функцій часу.

Кутова швидкість руху є похідною кута як функції часу. Кутове прискорення є похідною кутової швидкості або другою похідною кута як функцій часу.

Лінійна густина стержня є похідною його маси як функції довжини стержня.

Сила струму є похідною кількості електричного заряду як функції часу.

Теплоємність є похідною кількості тепла як функції часу.

Правила знаходження похідної суми, добутку, частки двох функцій.

Розглянемо приклади обчислення похідної функції за допомогою наведених правил.

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 3.

Приклад 4.

Приклад 5.