Означення похідної функції, її геометричний і фізичний зміст.

Означення похідної функції, її геометричний і фізичний зміст. 

Похідні основних функцій. Похідні вищих порядків

ПОХІДНА ФУНКЦІЇ.

1. Означення похідної функції в точці.

Похідною функції у = f(х) в точці х₀ називають границю відношення приросту функції ∆f(x₀) в точці х₀ до приросту аргументу ∆х, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

Функцію у = f(х), що має похідну в точці х₀ називають диференційованою в цій точці. Якщо функція у = f(х) має прохідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційована на даному проміжку. Операцію взяття (знаходження) похідної називають диференціюванням функції.

У курсі шкільної математики похідні знаходять в основному, не за означенням, а використовуючи таблицю похідних та правила знаходження похідних.



Похідною функції f(x) у точці х₀називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x₀).

Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.

Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

Запам’ятайте!

- Похідна функції у = x дорівнює одиниці;

- Похідна степеневої функції дорівнює показнику степеня, помноженому на основу в степені, на одиницю меншу; (похідна функції у = xⁿ дорівнює добутку n іx^n-1);

- Похідна функції у = 1/x дорівнює одиниці, поділеній на х², узятій зі знаком мінус;

- Похідна функції у = √x для додатних х дорівнює 1/(2√x);

- Похідна функції синус х дорівнює косинусу х;

- Похідна функції косинус х дорівнює синусу х, взятому зі знаком мінус;

- Похідна функції тангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат косинуса х;

- Похідна функції котангенс х на її області визначення дорівнює одиниці, поділеній на квадрат синуса х, взятій зі знаком мінус;

- Похідна показникової функції у = а^х дорівнює цій функції, помноженій на натуральний логарифм основи а^х∙ ln а;

- Похідна функції у = е^х дорівнює самій функції, тобто е^х;

- Похідна логарифмічної функції у = log_ax на її області визначення дорівнює1/(х∙ ln а);

- Похідна функції у = ln x на її області визначення дорівнює одинці, поділеній на х .

Можна визначити похідні вищих порядків. Похідною n-го порядку (n-ною похідною) називається похідна від похідної (п – 1) порядку.

ПОХІДНА ФУНКЦІЇ.

2. Таблиця похідних елементарних функцій.

Приклад 1. Знайдіть похідні функцій:

Розв’язання.

Приклад 2. Знайдіть похідні функцій: 

Розв’язання. Спочатку кожну з функцій треба звести до виду х^р, а потім обчислювати похідну

Приклад 3. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Спростивши функцію отримаємо  Тому