Найбільше і найменше значення функції
Багато практичних задач зводяться до знаходження найбільших або найменших значень деяких функцій на певних проміжках. Застосування похідної до таких задач дає загальний метод пошуку таких значень.
При цьому важливу роль відіграє таке твердження: якщо функція неперервна на деякому проміжку, то серед її значень на цьому проміжку є найбільше і найменше.
Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції на проміжку така:
- Знайдіть похідну функції і її критичні точки;
- Знайдіть значення функції на кінцях проміжку;
- Знайдіть значення функції в критичних точках, які належать заданому проміжку;
- З усіх знайдених значень функції оберіть найбільше і найменше.
Для розв’язання практичних задач спочатку складають аналітичний вираз для тієї функції, за допомогою якої одна величина виражається через другу, після чого знаходять найбільше або найменше значення одержаної функції.
При цьому користуються такою схемою:
- Оберіть одну зі змінних (незалежну змінну) і складіть через неї функцію (залежну змінну), для якої знаходять найбільше або найменше значення;
- Знайдіть проміжок зміни незалежної змінної;
- Знайдіть похідну функції, яку склали;
- Прирівняйте похідну функції до нуля і знайдіть корені отриманого рівняння;
- Знайдіть точки, в яких похідна не існує;
- Знайдіть значення функції на кінцях проміжку зміни незалежної змінної і в точках, де похідна не існує або дорівнює нулю;
- Оберіть зі знайдених значень найбільше або найменше.
Зверніть увагу!
1) Точка, в якій функція набуває найбільше або найменше значення, не змінюється при наступних перетвореннях виразу, що задає функцію:
- Додавання числа;
- Множення на відмінне від нуля число, але при множенні на від’ємне число найбільше значення стає найменшим і навпаки;
- Піднесення до степеня з натуральним показником, якщо функція невід’ємна.
2) Якщо додатна функція набуває в деякій точці найбільшого значення, то функції протилежна й обернена в цій же точці набувають найменшого значення.
Якщо додатна функція набуває в деякій точці найменшого значення, то функції протилежна й обернена в цій же точці набувають найбільшого значення.
Знаходження точок екстремуму та екстремумів функції.
Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.
Достатня умова існування екстремуму. Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і 1) f '(x) > 0 на інтервалі (а; х0) та f '(х) < 0 на інтервалі (х0b), то х0 є точкою максимуму функції f(х); 2) f '(x) < 0 на інтервалі (а;х0) та f ‘(x) > 0 на інтервалі (х0b), то х0 є точкою мінімуму функції f(х).
Зручно користуватися наступним формулюванням цієї теореми:
якщо в точці х0 похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х0 - точка максимуму (мал. 100), а якщо з «-» на «+», то х0 - точка мінімуму (мал. 101).
Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:
1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).
2) Знаходимо похідну f '(x).
3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f '(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.
4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.
5) Якщо у критичній точці х0 похідна міняє знак з «+» на «-», то х0= хmах (мал. 100). Якщо ж міняє знак з «-» на «+», то х0 = хmin (мал. 101). Якщо ж зміни знаків немає (мал. 102), то х0 не є точкою екстремуму.
6) Робимо висновок (відповідь).
Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму та екстремум функції 
Розв’язання. 
3) Похідна існує в усіх точках області визначення у’ = 0; х1 = -1; х2 = -3 - критичні точки.
4) - 5) (мал. 103, пробні точки виберіть самостійно).
Приклад 2. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції 
Розв’язання.
3) Похідна існує в усіх точках області визначення.
х1 = 0, х2 = -2 - критичні точки.
4) - 5) (мал. 104, пробні точки виберіть самостійно).
Немає коментарів:
Дописати коментар