Фізичний зміст похідної. Геометричний зміст похідної.

Фізичний зміст похідної.

Фізичний зміст похідної полягає у наступному: якщо шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно, до моменту часу t(t > 0), визначається за формулою х(t), то швидкість руху υ(t) в момент часу і дорівнює похідній цієї функції:

а прискорення a(t) - похідній швидкості υ(t):

Приклад. Задано закон прямолінійного руху  (х - вимірюється у метрах,t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2с.

Розв’язання.

Геометричний зміст похідної.

Геометричний зміст похідної полягає у наступному: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що приведена у точці цього графіка з абсцисою х₀ дорівнює похідній функції у =f(x) у цій точці (мал. 96), тобто

k = f '(x₀).

Оскільки k = tg α, де α - кут, який утворює дотична з додатнім напрямом осі абсцис, то у випадку f '(x₀) > 0, кут α - гострий, якщо f '(x₀) = 0, то дотична паралельна осі абсцис (або співпадає з нею), а у випадку f '(x₀) < 0, кут α - тупий.

Приклад 1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = х² вточці з абсцисою х₀ = -1.

Розв’язання. k = f '(-1). Оскільки f '(x) = (х²) = 2х, то k = 2 ∙ (-1) = -2.

Приклад 2. Знайдіть кут нахилу до осі абсцис дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = 2, що проведена в точці А(1; 2).

Розв’язання.  Тоді  a тому α = π/4.

Приклад 3. На графіку функції  знайдіть такі точки, в яких дотична, проведена до графіка функції, паралельна осі абсцис.

Розв’язання. Нехай х₀ - абсциса шуканої точки. Тоді, виходячи з умови f(х₀) = 0, маємо: 

Знаходимо x₀ = 0 або х₀ = -2. Отже, враховуючи,  такими точками є точки (0;0) і (2;-4).



Прикладні задачі на знаходження екстремумів функцій

Прикладні задачі на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини.

При розв’язуванні прикладних задач на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини можна використовувати наступну схему:

1) Одну з величин позначаємо за х та за змістом задачі накладаємо обмеження на х.

2) Величину найбільше або (і) найменше значення якої потрібно знайти виражаємо через х;

3) Знаходимо найбільше або (і) найменше значення отриманої функції при накладених обмеженнях на х;

4) Виясняємо який практичний зміст має отриманий результат.

Зауважимо, що при розв’язуванні деяких практичних задач необхідно знайти найбільше або (і) найменше значення неперервної функції не на проміжку [а;b], а на інтервалі (а;b). Як правило, в таких випадках на інтервалі (а;b) функція має лише одну критичну точку. Якщо ця точка максимуму, то саме в цій точці на інтервалі (а;b) функція має найбільше значення (мал. 107), а якщо це точка мінімуму, то найменше (мал. 108).

Приклад 1. Парканом, довжина якого 120 м, треба огородити город найбільшої площі (мал. 109). Знайдіть розміри городу.

Розв’язання.

1) Позначимо через х м одну з двох паралельних сторін паркану (мал. 110), тоді інша сторона буде дорівнювати 120 - 2х (м), де 0 < х < 60.

2) Площа городу: S(x) = х(120 - 2х).

S(x) = 120х – 2x².

3) Знайдемо найбільше значення функції:

S(x) = 120х - 2х² при умові х  (0;60).

S'(x)= 120 – 2 ∙ 2x = 120 – 4x; S'(x) = 0, коли х = 30. Маємо х_mах = 30 (мал. 111).

4) Оскільки S(x) = 120 - 2х² неперервна на (0;60) і має точку максимуму х_mах = 30, то саме в цій точці S(x) досягає найбільшого значення. Отже, розмір городу 30 м і

120 – 2 ∙ 30 = 60 (м).

Приклад 2. Необхідно виготовити відкритий резервуар циліндричної форми, об’єм якого дорівнює 64π дм³. При яких розмірах резервуару (радіуса основи та висоті) на його виготовлення витрачається найменша кількість металу?

Розв’язання.

1) Розглянемо через r (дм) — радіус основи резервуара. Оскільки об’єм циліндра V = πr²h, деh - висота, то маємо 

2) На виготовлення резервуару витрачається така кількість металу  πr² - площа основи резервуара, 2πrh - площа бічної поверхні. Оскільки  то маємо

3) Знайдемо найменше значення функції  при умові r > 0.

 коли r = 4. Маємо r_min = 4 (мал. 112).

4) Оскільки  неперервна для r > 0 і має точку мінімуму r_min = 4, то саме в цій точці і у(r), а тому і S(r) досягає найменшого значення. Отже, радіус основи циліндра дорівнює 4 дм, його висота 

Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

У курсі математичного аналізу доводиться теорема Вейєритрасса: неперервна на відрізку[a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка[a;b] у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x)неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Виходячи з наведеного, можна запропонувати наступну схему знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b]:

1) Перевіряємо входження заданого проміжку в область визначення функції.

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f ‘(x) = 0.

4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].

5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках а і b.

6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у =f(x) на проміжку [a;b].

7) Відповідь.

Приклад. Знайдіть найбільше та найменше значення функції  на проміжку [0;3].

Розв’язання.

1) D(f) = R, розглядуваний проміжок належить області визначення.

3) Похідна існує в усіх точках; розв’язки рівняння х² + х - 2 = 0, тобто х₁ = 1; х₂ = -2 - критичні точки.

6) Отже, найбільше значення функції f(x) на заданому проміжку f(3) = 46, а найменше - f(1) = -6.

7) Це записують наступним чином:

Найбільше і найменше значення функції

Найбільше і найменше значення функції

Багато практичних задач зводяться до знаходження найбільших або найменших значень деяких функцій на певних проміжках. Застосування похідної до таких задач дає загальний метод пошуку таких значень.

При цьому важливу роль відіграє таке твердження: якщо функція неперервна на деякому проміжку, то серед її значень на цьому проміжку є найбільше і найменше.

Схема знаходження найбільшого і найменшого значень функції на проміжку така:

- Знайдіть похідну функції і її критичні точки;

- Знайдіть значення функції на кінцях проміжку;

- Знайдіть значення функції в критичних точках, які належать заданому проміжку;

- З усіх знайдених значень функції оберіть найбільше і найменше.

Для розв’язання практичних задач спочатку складають аналітичний вираз для тієї функції, за допомогою якої одна величина виражається через другу, після чого знаходять найбільше або найменше значення одержаної функції.

При цьому користуються такою схемою:

- Оберіть одну зі змінних (незалежну змінну) і складіть через неї функцію (залежну змінну), для якої знаходять найбільше або найменше значення;

- Знайдіть проміжок зміни незалежної змінної;

- Знайдіть похідну функції, яку склали;

- Прирівняйте похідну функції до нуля і знайдіть корені отриманого рівняння;

- Знайдіть точки, в яких похідна не існує;

- Знайдіть значення функції на кінцях проміжку зміни незалежної змінної і в точках, де похідна не існує або дорівнює нулю;

- Оберіть зі знайдених значень найбільше або найменше.

Зверніть увагу!

1) Точка, в якій функція набуває найбільше або найменше значення, не змінюється при наступних перетвореннях виразу, що задає функцію:

- Додавання числа;

- Множення на відмінне від нуля число, але при множенні на від’ємне число найбільше значення стає найменшим і навпаки;

- Піднесення до степеня з натуральним показником, якщо функція невід’ємна.

2) Якщо додатна функція набуває в деякій точці найбільшого значення, то функції протилежна й обернена в цій же точці набувають найменшого значення.

Якщо додатна функція набуває в деякій точці найменшого значення, то функції протилежна й обернена в цій же точці набувають найбільшого значення.

Знаходження точок екстремуму та екстремумів функції.

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.

Достатня умова існування екстремуму. Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і 1) f '(x) > 0 на інтервалі (а; х₀) та f '(х) < 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою максимуму функції f(х); 2) f '(x) < 0 на інтервалі (а;х₀) та f ‘(x) > 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою мінімуму функції f(х).

Зручно користуватися наступним формулюванням цієї теореми:

якщо в точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ - точка максимуму (мал. 100), а якщо з «-» на «+», то х₀ - точка мінімуму (мал. 101).

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f '(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.

5) Якщо у критичній точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-», то х₀= х_mах (мал. 100). Якщо ж міняє знак з «-» на «+», то х₀ = х_min (мал. 101). Якщо ж зміни знаків немає (мал. 102), то х₀ не є точкою екстремуму.

6) Робимо висновок (відповідь).

Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму та екстремум функції 

Розв’язання. 

3) Похідна існує в усіх точках області визначення у’ = 0; х₁ = -1; х₂ = -3 - критичні точки.

4) - 5) (мал. 103, пробні точки виберіть самостійно).

Приклад 2. Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції 

Розв’язання.

3) Похідна існує в усіх точках області визначення.

х₁ = 0, х₂ = -2 - критичні точки.

4) - 5) (мал. 104, пробні точки виберіть самостійно).



Похідна складної функції.

Похідна складної функції.

Приклад 1. Нехай необхідно обчислити значення функції  у точці х = 4. Природно це роблять наступним чином:

1) спочатку обчислюють значення виразу 2х + 1, якщо х = 4, а саме 2 ∙ 4 + 1 = 9;

2) потім з отриманого числа 9 здобувають арифметичний квадратний корінь, маємо  = 3. Отже, f(9) = 3.

Якщо позначити u(х) = 2х + 1, а g(u) = , то можна записати f(х) = g(u(x)).

Кажуть, що f(x) є складеною функцією, u(х) - внутрішня функція f (або проміжний аргумент).

Далі подамо правила обчислення похідної складеної функції.

Якщо функція u(х) має похідну в точці х, а функція f(u) має похідну в точці u = u(х), то складена функція у = f(u(x)) має похідну в точці х, причому

Приклад 2. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Маємо складену функцію 

Тоді

Приклад 3. Знайдіть у' = π/4, якщо у = sin² x.

Розв’язання. у = sin² х, тобто у = u², де u = sin x. Тоді 

Маємо 

Приклад 4. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання. Знайдемо спочатку похідні функції  i 

Тоді 

Тоді

Отже,