Прикладні задачі на знаходження екстремумів функцій

Прикладні задачі на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини.

При розв’язуванні прикладних задач на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини можна використовувати наступну схему:

1) Одну з величин позначаємо за х та за змістом задачі накладаємо обмеження на х.

2) Величину найбільше або (і) найменше значення якої потрібно знайти виражаємо через х;

3) Знаходимо найбільше або (і) найменше значення отриманої функції при накладених обмеженнях на х;

4) Виясняємо який практичний зміст має отриманий результат.

Зауважимо, що при розв’язуванні деяких практичних задач необхідно знайти найбільше або (і) найменше значення неперервної функції не на проміжку [а;b], а на інтервалі (а;b). Як правило, в таких випадках на інтервалі (а;b) функція має лише одну критичну точку. Якщо ця точка максимуму, то саме в цій точці на інтервалі (а;b) функція має найбільше значення (мал. 107), а якщо це точка мінімуму, то найменше (мал. 108).

Приклад 1. Парканом, довжина якого 120 м, треба огородити город найбільшої площі (мал. 109). Знайдіть розміри городу.

Розв’язання.

1) Позначимо через х м одну з двох паралельних сторін паркану (мал. 110), тоді інша сторона буде дорівнювати 120 - 2х (м), де 0 < х < 60.

2) Площа городу: S(x) = х(120 - 2х).

S(x) = 120х – 2x².

3) Знайдемо найбільше значення функції:

S(x) = 120х - 2х² при умові х  (0;60).

S'(x)= 120 – 2 ∙ 2x = 120 – 4x; S'(x) = 0, коли х = 30. Маємо х_mах = 30 (мал. 111).

4) Оскільки S(x) = 120 - 2х² неперервна на (0;60) і має точку максимуму х_mах = 30, то саме в цій точці S(x) досягає найбільшого значення. Отже, розмір городу 30 м і

120 – 2 ∙ 30 = 60 (м).

Приклад 2. Необхідно виготовити відкритий резервуар циліндричної форми, об’єм якого дорівнює 64π дм³. При яких розмірах резервуару (радіуса основи та висоті) на його виготовлення витрачається найменша кількість металу?

Розв’язання.

1) Розглянемо через r (дм) — радіус основи резервуара. Оскільки об’єм циліндра V = πr²h, деh - висота, то маємо 

2) На виготовлення резервуару витрачається така кількість металу  πr² - площа основи резервуара, 2πrh - площа бічної поверхні. Оскільки  то маємо

3) Знайдемо найменше значення функції  при умові r > 0.

 коли r = 4. Маємо r_min = 4 (мал. 112).

4) Оскільки  неперервна для r > 0 і має точку мінімуму r_min = 4, то саме в цій точці і у(r), а тому і S(r) досягає найменшого значення. Отже, радіус основи циліндра дорівнює 4 дм, його висота