Дослідження функції і побудова її графіка

Дослідження функції і побудова її графіка

Щоб побудувати графік заданої функції, треба спочатку дослідити поведінку функції, визначити особливості її графіка.

Досліджуйте функцію за такою схемою:

1. Знайдіть область визначення функції.

2. Дослідіть функцію на парність або непарність (якщо функція парна, можна побудувати її графік у правій координатній півплощині і відобразити симетрично відносно осі ординат у ліву півплощину; якщо функція непарна, то треба відобразити симетрично відносно початку координат);

3. Знайдіть точки перетину графіка функції з віссю абсцис. Для цього розв’яжіть рівняння, в лівій частині якого задана функція, а в правій – нуль.

4. Знайдіть точки розриву функції.

5. Знайденими точками розбийте область визначення функції на проміжки і визначте знаки функції на кожному з проміжків.

6. Визначте поведінку функції навколо точок розриву і на нескінченності та знайдіть асимптоти графіка функції.

7. Знайдіть похідну функції і дослідіть її на монотонність.

8. Знайдіть точки екстремуму функції.

9. Дослідіть функцію на точки перегину (для уточнення поведінки, якщо це потрібно).

10. Складіть таблицю значень функції та її похідних.

11. Побудуйте ескіз графіка функції, враховуючи проведене дослідження.

Зверніть увагу! Поняття максимуму і мінімуму функції мають локальний характер, тобто в околі окремої точки. Значення функції в цій точці порівнюється зі значеннями функції в усіх достатньо близьких точках. Тому який-небудь максимум функції може бути меншим від якого-небудь мінімуму функції, якщо розглядаємо функцію на області визначення.

Похідну функції застосовують для доведення нерівностей. При цьому враховують такі твердження:

- Якщо в деякій точці А значення заданої функції дорівнює нулю і похідна цієї функції додатна на додатному промені з початком у точці А, при цьому функція неперервна в цій точці, то задана функція додатна на цьому промені.

- Якщо в деякій точці А значення заданої функції дорівнює нулю і похідна цієї функції від’ємна на додатному промені з початком у точці А, при цьому функція неперервна в цій точці, то задана функція від’ємна на цьому промені.

ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВИ ЇХНІХ ГРАФІКІВ.

Можна запропонувати наступну схему дослідження функції у = f(х) та побудови ЇЇ графіка:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).

4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.

5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.

6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).

7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функцій або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію  та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

 функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу: 

Точки перетину з віссю Оу:  (розв’яжіть рівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).

 критичні точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Складаємо таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	Функціяспадає	min	Функціязростає	mах	Функціяспадає	mіn	Функціязростає

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).

Приклад 2. 1) Дослідіть функцію f(х) = (х - 3) та побудуйте ескіз її графіка. 2) Скільки коренів має рівняння (х - 3) = а залежно від значення параметра а?

Розв’язання завдання 1.

1) D(f) = [0;+∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, оскільки її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = 0. Точки перетину з віссю Ох: у = 0; (х – 3)  = 0 ; х₁ = 3; х₂ = 0.

х = 1 - критична точка.

5) Складаємо таблицю:

X	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	не існує	-	+	+
f(x)	0		-2
Висновок	Точка належить графіку	Функція спадає	mіn	Функція зростає

6) Точка (0;0) належить графіку функції.

7) Ескіз графіка показано на малюнку 106.

Розв’язування завдання 2. Будемо розв’язувати рівняння (х - 3)  = а графічно. Для цього будуємо графіки функцій f(х) = (х - 3)  та у = а, а - число (мал. 106а). Для різних значень а кількість коренів рівняння буде різною.

Якщо а = -2, то графіки перетинаються в одній точці, а тому розглядуване рівняння має один корінь. Якщо -2 < а ≤ 0, то графіки перетинаються в двох точках, а тому розглядуване рівняння має два кореня. Якщо ж а > 0, то графіки перетинаються в одній точці, і рівняння має один корінь.

Остаточно маємо: якщо а = -2 або а > 0, то рівняння має один корінь, якщо -2 < а ≤ 0, то рівняння має два корені.