Поняття факторіалу. Розміщення. Перестановки.

Поняття факторіалу.

Факторіалом числа n, де n — ціле невід’ємне число називають добуток всіх натуральних чисел від 1 до n.

Позначають це так n! Отже, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙ (n - 1) ∙ n. За означенням приймають 0! = 1. Наприклад, 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.

Приклад. Спростити вираз 6!/5!.

Розв’язання. Маємо 

Розміщення.

Нехай дано множину X з n елементів х₁,х₂,х_n-1,х_n.

Розміщенням з n елементів по m (m < n) називають будь-яку впорядковану підмножину У множини X, причому дві такі підмножини вважають різними, якщо вони відрізняються складом або порядком елементів.

Приклад 1. Нехай дано множину Х = {1;2;3}. Тоді по одному можна скласти такі розміщення:

(1), (2), (3) - їх буде 3;

по два можна скласти такі розміщення:

(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) - їх буде 6;

по три можна скласти такі розміщення:

(1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1) - їх буде 6.

Кількість розміщень з n елементів по m позначають А^m_n. Можна записати 

Формула для обчислення:

Цю формулу можна запам’ятати за допомогою такого правила:

А^m_n є добутком т натуральних чисел, починаючи з n, взятих у порядку спадання.

Наприклад, А⁴₇ = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840.

А^m_n можна обчислювати ще й за такою формулою:

Приклад 2. Розклад на день містить 6 уроків. Визначити кількість всіх можливих розкладів при виборі з 9 предметів, при умові, що жоден предмет не стоїть у розкладі двічі.

Розв’язання. Зрозуміло, що таких розкладів буде

А⁶₉ = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 60480.

Приклад 3. Скільки різних правильних дробів можна скласти з чисел 1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, які використовують для запису чисельника і знаменника дробу?

Розв’язання. Дробів, у яких чисельник не дорівнює знаменнику можна скласти А²₈ штук, але лише половина з них правильні. Отже, шукана кількість дробів 

Перестановки.

Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з усіх цих елементів, причому дві такі множини називаються різними, якщо вони відрізняються між собою порядком елементів.

Кількість перестановок з п елементів позначають Р_n. З означення випливає, що Р_n = Аⁿ_n. Тоді враховуючи формулу для А^m_n та 0! = 1, маємо  Отже,

Приклад 1. Скількома способами можна розставити на полиці 6 книжок?

Розв’язання. Очевидно, що шукана кількість способів дорівнює кількості перестановок з 6 елементів (книг): Р₆ = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.

Приклад 2. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0; 1; 2; 3, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?

Розв’язання. З чотирьох цифр 0; 1; 2; 3 можна утворити Р₄ перестановок. Але ті перестановки, які починаються з нуля не будуть записами чотирицифрових чисел, таких перестановок — Р₃. Отже, шукана кількість чотирицифрових чисел дорівнює Р₄ - Р₃ = 4! - 3! = 3!(4 - 1) = 6 ∙ 3 = 18.