ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ.

ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ.

Задача теорії ймовірностей – математичне дослідження закономірностей масових випадкових подій.

Зверніть увагу! Розглядаються стохастичні експерименти, які можна повторити будь-яку кількість разів, але результати не можна напевне передбачити.

Проводиться n експериментів при однакових обставинах. Подія Авідбулась k разів, тоді не відбулась n – k разів. Число k називається частотою подіїА, а відношення k / n – відносна частота події А.

При великій кількості експериментів відносна частота наближається до числа, яке називається ймовірністю події А

Імовірністю випадкової події А називається відношення числа елементарних подій, що відбулися, до загального числа подій простору елементарних подій.

Імовірність завжди більша за нуль, але менша від одиниці.

Сумою подій А і В називається подія, при якій із подій А і В відбудеться хоча б одна.

Приклад. Нехай подія А така, що при підкиданні двох монет обидві падають на одну сторону. Нехай В – така подія, коли перша монета падає решкою. Тоді подія сума означає, що результатом підкидання монет будуть:

орел, орел

решка, решка

решка, орел

і не буде: орел, решка.

Для будь-яких подій справджується:

Сума двох однакових подій дорівнює самій події;

Сума події А і В дорівнює сумі подій В і а;

Щоб до суми двох подій додати третю подію, можна до першої події додати суму другої і третьої подій.

Різницею подій А і В називається така подія, при якій подія А відбудеться, а подія В не відбудеться.

Добутком подій називається подія, при якій із подій А і В відбудуться обидві події А і В.

Зверніть увагу! Незалежними називаються події такі, що ймовірність того, що відбудеться одна подія, не залежить від того, відбулась інша чи ні.

Статистичною ймовірністю події А називається число р, навколо якого зосереджуються значення статистичної частоти здійснення події А при збільшенні числа експериментів.

Теорема. Якщо в серії експериментів імовірність деякої події залишається для кожного експерименту постійною, то з достовірністю можна стверджувати, що при достатньо великій кількості експериментів статистична частота цієї події буде відрізнятись як завгодно мало від її ймовірності.

 Випадковий дослід і випадкова подія.

Випадковий дослід — це дослід (експеримент, спостереження, випробування), результат якого залежить від випадку і який можна повторювати багато разів в одних і тих самих умовах.

До випадкових дослідів можна віднести: підкидання монети чи кубика, купівлю лотерейного білета, стрільбу у мішень тощо. Результатом випадкового досліду є випадкова подія.

Випадкова подія — це подія, яка в одних і тих самих умовах може відбутися, а може і не відбутися.

Прикладами випадкових подій є «випадіння шістки при підкидання грального кубика», «випадання герба при підкиданні монети», «виграти 100 грн. при купівлі лотерейного квитка» тощо.

Події «при нагріванні води до 100°, вона кипить», «при нагріванні дроту його довжина збільшується» є закономірними, тому їх не можна називати випадковими.

Випадкові події, як правило, позначають великими латинськими літерами: А, В, С, D,...



ЗАДАЧІ З ЕЛЕМЕНТАРНОЇ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

       

1. Перевірити чи правильні твердження:

1. Кожен експеримент є випадковим.

2. Кожному експерименту відповідає певний простір елементарних подій.

3. Кожна множина W є простором елементарних подій для деякого експерименту.

4. Елементарні події можна позначати по різному.

5. Простори W₁={Г, Ц} і W₂={1, 0} відповідають різним експериментам.

6. З одним і тим самим експериментом можна пов’язати як скінченний, так і нескінченний простір елементарних подій.

7. Поняття елементарної події і простору елементарних подій є означуваними поняттями.

2. Перевірити, чи правильні твердження:

1. Множина елементарних подій – це будь-яка множина.

2. Подія – це будь-яка підмножина множини W елементарних подій.

3. Елементарна подія є подією.

4. Кожен елемент множини елементарних подій сприяє певній події.

5. Кожна подія є вірогідною.

6. Існують неможливі події.

7. Існує елементарна подія, яка не сприяє жодній події.

8. Кожна подія спричинює себе і спричинюється собою.

9. Для будь-якої множини елементарних подій існують нерівні події.

10. Для будь-яких подій А і В принаймні одна з них спричинює іншу.

3.Для даного експерименту вказати множину W елементарних подій:

1. Підкидання монети двічі.

2. Підкидання монети тричі.

3. Підкидання шестигранного кубика двічі.

4. Підкидання шестигранного кубика тричі.

5. Підкидання шестигранного кубика m разів.

6. Розміщення трьох предметів, що не розрізняються (наприклад, однакові кульки), у трьох скриньках.

7. Фіксація віку окремої людини.

4. Визначити, скільки різних просторів елементарних подій можна пов'язати з підкиданням шестигранного кубика.

5. Чи можна стверджувати, що з кожним з експериментів 2.1-2.8 пов’язаний єдиний простір елементарних подій?

6. Експеримент полягає у тому, що один учень відгадує двозначне натуральне число, задумане іншим учнем. Яким є простір  елементарних подій?

7. Вказати всі можливі події, якщо задано множину  елементарних подій:

1. Множина наслідків експерименту, який полягає в підкиданні відразу двох монет (1 і 2 копійки). При цьому як наслідки розглядаються:

1) усі можливі пари появ герба і цифри на двох монетах, якщо першою вказується монета 1 копійка;

2) кількість появ герба на обох монетах.

2. Множина наслідків експерименту – пострілу в мішень, на якій зазначені можливі кількості отриманих очків: 0, 1, 2, 3, 4, 5 у залежності від відстані точки влучення від центра мішені. При цьому розглядаються наступні наслідки – менше чи не менше 3-х очків отримується після пострілу.

3. Множина наслідків експерименту, що полягає в підкиданні відразу двох гральних кубиків (червоного та білого кольору), на гранях кожного з яких нанесені цифри від 1 до 6. При цьому як наслідки розглядаються:

1) можливі пари  очок, що випали,

2) неможливі суми  очок, що не випали,

де  – цифра, що випала на верхній грані білого кубика,  – цифра, що випала на грані чорного кубика.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ МНОЖИН МОЖНА ТАКОЖ ПОДАТИ МОВОЮ ТЕОРІЇ   ЙМОВІРНОСТЕЙ.

      Теорія множин                                            Теорія ймовірностей

Множина W                                             W- простір елементарних подій

Множина W                                        W- достовірна подія-подія, яка відбу-    

                                                   вається при кожному здійсненні  експерименту.

Æ ( порожня множина )                     Æ-неможлива подія- подія, яка не  відбува  

                                                   вається при  будь-якому здійсненні  експе-

                                                   рименту.   

_____________________________________________________________________

А⊂В                                            з події А випливає подія В

ДІЇ НАД ПОДІЯМИ

АВ  ( сума множин А та В)     АВ  - подія, яка полягає в тому,                                                                               

                                                       що відбувається принаймі одна   з подій А або В  

____________________________________________________________________

 ( переріз множин  А  і  В)                        - подія, яка полягає в тому,

                                                                          що відбудеться і А , і  В.                                                         

_____________________________________________________________________

\ A ( доповнення  до А )                           - протилежна подія до А-         

Mножина   складається  з                                подія , яка полягає в тому  

тих точок, які не входять в                                   що А не відбудеться                                                              

множину А.

____________________________________________________________________

=Æ                                                     =Æ- події А та В несумісні                                                             

 ( А та В множини,                                                

які не перетинаються).

А\В ( різниця  множин А і В)                          А\В-різниця подій А і В -                                 

                                                                    подія, яка  полягає в тому,  що       

                                                                                 відбудеться А і не  відбудеться В