Розв'язування задач статистики

Вибіркові характеристики.

При статистичних дослідженнях вибірки важливим етапом є оцінювання її числових характеристик, які називають вибірковими характеристиками.

Розмах вибірки R — це різниця між найбільшим і найменшим значенням випадкової величини у вибірці.

Для вибірки, розглянутої в прикладі 1 попереднього пункту, маємо R = 12 - 1 = 11.

Мода вибірки М_O — те значення випадкової величини, що зустрічається у вибірці найчастіше.

Для вибірки, розглянутої в прикладі 1 попереднього пункту є дві моди — це числа 7 і 8. Можна записати М_O1 = 7; М_O2 = 8.

Медіана вибірки М_е — серединне значення ранжованої вибірки.

Медіана ділить ранжовану вибірку на дві рівні за кількістю частини. Якщо у вибірці непарна кількість випадкових величин, то його медіаною є число, яке стоїть посередині.

Наприклад, у ранжованій вибірці:

що складається з 7 випадкових величин, медіаною є число 3. Можна записати М_е = 3.

Якщо у вибірці парне число випадкових величин, то медіана — середнє арифметичне двох чисел, що стоять посередині.

Наприклад, у ранжованій вибірці:

що складається з 8 випадкових величин, медіана — це середнє арифметичне чисел 4 і 5, що стоять посередині ряду. Отже, М_е = (4 + 5)/2.

Середнє арифметичне вибірки  — це середнє арифметичне всіх її значень x₁; x₂; x₃;…; x_n.

Так, наприклад, середнє арифметичне вибірки, розглянутою у прикладі 1 попереднього пункту знаходиться наступним чином:



Розв'язування задач статистики

Приклад 1

Для з'ясування рівня знань учнів 9-х класів у школах мікрорайону склали спеціальну контрольну роботу з шести завдань. У школах мікрорайону навчається 710 дев'ятиклас­ників, з яких випадковим чином відібрали 50 учнів (обсяг вибірки n), і в алфавітному спис­ку цих учнів біля кожного прізвища після проведення контрольної роботи проставили кількість правильно розв'язаних задач. Вийшов ряд даних (статистичні дані):

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

Щоб зручніше було аналізувати інформацію, розташували ці числа в порядку їх зростан­ня (ранжирування ряду даних):

0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.

Для кращого сприйняття і полегшення подальшого аналізу результатів, їх подають у виг­ляді таблиці, яка встановлює зв'язок між впорядкованим рядом статистичних даних і відповідними їм частотами m_і (або відносними частотами v_i)

Кількість правильно розв'язаних задач, хі	0	1	2	3	4	5	6
Частота, mi	3	4	12	15	8	3	5
Відносна частота, vi , (у %)	6	8	24	30	16	6	10

Перевірка: 1) додаємо всі частоти ті і одержуємо обсяг вибірки n = 50;

2) додаємо всі відносні частоти v_i, і одержуємо 100%. Отже, таблиця заповнена правильно.

Для графічного подання даних на основі цієї таблиці можна побудувати різні типи діаграм частот (або відносних частот):

1) лінійна діаграма являє собою набір відрізків, що спираються на певні значення випадко­вої величини х_і (статистичні дані), а висоти їх дорівнюють відповідним частотам m_і (або віднос­ним частотам v_i,) цих величин:

 2) стовпчаста діаграма складається з окремих стовпців - прямокутників, основи яких вибирають довільної ширини на значеннях випадкової величини х_n а висоти дорівнюють відповідним частотам m_i. (або відносним частотам v_i) цих величин:

3) для побудови кругової діаграми круг розбивається на сектори, центральні кути яких пропорційні відносним частотам v_i, обчисленим для кожного значення випадкової величини:

Крім діаграм для графічного представлення результатів використовують полігони частот (або відносних частот).

Полігон частот являє собою ламану, відрізки якої послідовно з'єднують точки з коорди­натами (х_i; v_i), де х_і - значення випадкової величини, а v_i. - відповідні їм частоти.

Увага!  

У випадках, коли в статистичному ряді даних однакові значення зустрічаються рідко, а кількість різних варіантів досить велика, для обробки даних будують інтервальний ряд. Для побудови такого ряду спочатку знаходять серед даних найбільше значення і найменше значення і визначають розмах ряду даних. Потім весь інтервал значень ряду даних розби­вається на декілька (5 -10) однакових інтервалів і визначається, яка кількість даних по­трапляє в кожний інтервал.

Приклад  2

Для з'ясування, чи зручно розташована школа в мікрорайоні, провели опитування учнів. Вибраних випадковим чином 100 учнів (обсяг вибірки n) запитали, скільки часу кожен з них витрачає на дорогу від дому до школи.

У результаті опитування отримали ряд даних (статистичні дані):

40, 18, 31, 45, 24, 30, 37, 15, 39, 34, 48, 25, 30, 7, 27, 52, 43, 38, 47, 8, 21, 40, 32, 53, 45, 54, 35, 28, 32, 12, 26, 35, 48, 19, 33, 26, 17, 30, 42, 22, 53, 28, 42, 36, 23, 10, 34, 46, 16, 29, 35, 52, 41, 32, 21, 39, 55, 25, 29, 8, 36, 44, 26, 55, 34, 19, 42, 54, 27, 10, 45, 20, 31, 50, 18, 9, 41, 14, 38, 40, 23, 49, 33, 15, 24, 46, 36, 28, 32, 37, 51, 20, 29, 47, 33, 27, 41, 22, 39, 40.

Найбільше значення серед даних - 55, найменше - 7, розмах вибірки: 55 - 7 = 48. Вибере­мо довжину інтервалу, наприклад: 48:6 = 8. За початок кожного інтервалу прийнято брати значення, розташоване на півінтервалу лівіше найменшого значення в ряду, тобто 7 - 4 = 3. Тоді границі інтервалів: 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51, 59. Визначимо, скільки значень потрапить у кожний інтервал, тобто частоту попадання в даний інтервал. Побудуємо таблицю:

Інтервал часу (у хв), х,	3-11	11-19	19-27	27-35	35-43	43-51	51-59
Частота, m	6	8	17	24	23	13	9

Для інтервального ряду використовують спеціальне графічне зображення - гістогра­му частот (або відносних частот).

Гістограма частот являє собою ступінчасту фігуру, що складається із з'єднаних між со­бою стовпців-прямокутників; основою кожного стовпця слугує проміжок значень випадко­вої величини, а висотою - частота, з якою зустрічається ця величина.

Приклад 3.

Учні 9-го класу проходили тестування з математики, де оцінка виставлялася за 100-бальною шкалою. Середня оцінка 10 учнів становила 81 бал. Якою має бути середня оцінка реш­ти 20 учнів класу, щоб середня оцінка всього класу дорівнювала 85 балам?

Розв'язання.

Нехай оцінка одного учня х₁ балів, другого - х₂ балів, тридцятого – х₃₀ балів. Тоді се­редня оцінка 10 учнів становить 81 бал: (x₁+ х₂+...+х₁₀):10 = 81. 

Cередня оцінка решти 20 учнів нехай буде z:  (x₁₁+ х₁₂+...+х₃₀):20 = z , а середня оцінка всього класу дорівнює 85 балам: (x₁+ х₂+...+х₃₀):30 = 85.Одержуємо систему з трьох рівнянь:

x₁+ х₂+...+х₁₀ = 810;  x₁₁+ х₁₂+...+х₃₀ = 20z; x₁+ х₂+...+х₃₀= 2550

з якої визначаємо z:

810 + 20z = 2550,

20z = 2550 - 810,

20z =1740,

z = 87.

Відповідь: середня оцінка решти 20 учнів класу становить 87.

Задачі для тренування.

1. Середнє арифметичне п'яти чисел дорівнює 300. Одне з цих чисел дорівнює 900. Знайдіть середнє арифметичне решти чотирьох чисел.

А)  250;      Б) 200;          В)  150;     Г)  100.

2. Середня висота 10 будинків дорівнює 60 м, а середня висота чотирьох з них - 48 м. Чому дорівнює середня висота решти 6 будинків?

А)  60м;     Б)  64 м;     В)  68м;      Г)  72м.

3. Учень отримав табель з такими оцінками: 5, 6, 6, 7, 6, 5, 9, 10, 6, 6. Знайдіть середнє зна­чення вибірки, моду, медіану. Побудуйте полігон частот.