Комплексні числа

Комплексні числа

Якщо вважати, що рівняння х² = –1 має розв’язок, можна розширити поняття числа, приєднавши до множини дійсних чисел множинукомплексних чисел.

Число і, що дорівнює кореню квадратному з мінус одиниці, називається уявною одиницею, а числааі, де а –дійсні числа, називаютьсяуявними числами (і – перша літера латинського слова imaginarius —«уявний»).

Зверніть увагу! Квадрат уявної одиниці дорівнює мінус одиниці; куб уявної одиниці дорівнює уявній одиниці, взятій із протилежним знаком; четвертий степінь уявної одиниці дорівнює одиниці.

Комплексними називаються числа виду а + bi, де a, b – дійсні числа.

У комплексного числа а + biчисло а називається дійсноючастиною цього числа, а bi – уявною частиною цього числа, де b - коефіцієнт уявної частини.Зверніть увагу! Дійсні числа є окремим випадком комплексних чисел, коли b = 0.

Властивості комплексних чисел

• два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і рівні коефіцієнти уявних частин;

• два комплексні числа а + bi і а – bi називаються спряженими числами;

• два комплексні числа а + bi і –а – bi називаються протилежними числами;

• для комплексних чисел не існують поняття «більше» і «менше», тому комплексні числа не порівнюють.

Дії над комплексними числами

• Для того щоб виконати додавання двох комплексних чисел, треба окремо виконати додавання їх дійсних і їх уявних частин.

• Для того щоб виконати віднімання двох комплексних чисел, треба окремо виконати віднімання їх дійсних і їх уявних частин. Сума одержаних чисел буде різницею заданих комплексних чисел.

• Для того щоб знайти добуток комплексних чисел, треба скористатись правилом, аналогічним до правила множення двочленів.

Якщо добуток комплексних чисел дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю.

Ділення комплексних чисел виконують, в основному, за допомогою множення діленого і дільника на число, спряжене дільнику.

Властивості дій над комплексними числами

Які б не були комплексні числа для них справджуються переставний закон додавання (комутативність) і сполучний закон додавання (асоціативність).