Розв’язування задач на підрахунок ймовірностей за допомогою формул комбінаторики.

Розв’язування задач 
на підрахунок ймовірностей 
за допомогою формул комбінаторики.

Часто в задачах на підрахунок ймовірностей використовують формули комбінаторики. Розглянемо приклади.

Приклад 1. На картках записані натуральні числа: від 1 до 15. Навмання вибирають дві з них. Яка ймовірність того, що сума чисел, записаних на цих картках дорівнює 10?

Розв’язання. Кількість всіх можливих випадків — це кількість способів, якими можна (без врахування порядку) вибрати дві картки з п’ятнадцяти. Отже, n = С²₁₅ = 105. Нас влаштовують такі набори (1;9), (2;8), (3;7), (4;6). Отже, 

Приклад 2. В ящику 7 білих і 3 чорні кульки. Навмання вибирають три з них. Яка ймовірність того, що 1) всі вони білі; 2) дві з них — білі, а одна — чорна?

Розв’язання. Для обох задач n = С³₁₀ = 120 — кількість всіх можливих випадків.

1)  Вибрати три білі кульки можна С³₇ способами. Отже m = С³₇ = 35; 

2) Вибрати дві білі кульки можна С²₇ способами і після кожного такого вибору вибрати чорну кульку можна С¹₃ способами. За правилом добутку 

ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

Варіант 1

1.Числа від 1 до 15 написані на 15 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число непарне?

2.Числа від 1 до 25 написані на 25 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число парне?

3.Числа від 1 до 35 написані на 35 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число ділиться на 5?

4.Числа від 1 до 45 написані на 35 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число двоцифрове?

5.Числа від 1 до 65 написані на 65 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число просте?

6.Числа від 1 до 85 написані на 85 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число є квадратом повного числа.

7.Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 3?

8.Серед чисел від 1 до 100 навмання вибирають одне число. Знайдіть ймовірність того, що в вибраному числі є цифра 1.

9.На кожній із чотирьох однакових карток записано одну із літер: А, В, К, С. Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово КВАС?

10. Де більше способів вибору:  три екзамени із 5 п’яти предметів чи два два екзамени із шести предметів? Обґрунтуйте.

11. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 54. Чому дорівнює середнє арифметичне цих трьох чисел і числа 66?

12. Середня площа трьох земельних ділянок дорівнює 30 га. Яка середня площа п'яти інших ділянок, якщо середня площа всіх восьми ділянок дорівнює 70 га?

Варіант 2

1.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 11?

2.Із чисел 1, 2, 3, … 50 навмання вибирають число. Знайдіть імовірність того, що це число ділиться на 5.

3.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випаде число очок, кратне 3?

4.Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Проте він пам’ятає, що ця цифра парна. Знайдіть ймовірність того, що набрана цифра правильна.

5.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випаде число очок, кратне простому числу?

6.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні  двох гральних  кубиків випаде число очок, кратне  числу 2?

7.Пан Коцький одного ранку зловив 10 маленьких, 15 середніх і 15 великих рибок. Яка ймовірність того, що при випадковому виборі однієї рибки він не візьме великої рибки?

8.Пан Коцький одного ранку зловив 40 маленьких, 25 середніх і 35 великих рибок. Яка ймовірність того, що Лисичка-сестричка, яка поцупила у Коцького одну рибку, ласуватиме великим екземплярчиком?

9. Олеся та Андрій кидають по одному разу стандартний гральний кубик. Знайдіть ймовірність того, що кількість очок у Олесі більша від кількості очок, що випали в Андрія.

10. Де більше способів вибору:  чотири екзамени із 5 п’яти предметів чи п’ять екзаменів із шести предметів? Обґрунтуйте.

11. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 84. Чому дорівнює середнє арифметичне цих трьох чисел і числа 72?

12. Середня площа трьох земельних ділянок дорівнює 60 га. Яка середня площа п'яти інших ділянок, якщо середня площа всіх восьми ділянок дорівнює 80 га?

ЗАДАЧІ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІ

Варіант 3

1.Числа від 1 до 35 написані на 35 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число непарне?

2.Числа від 1 до 45 написані на 45 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число парне?

3.Числа від 1 до 55 написані на 55 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число ділиться на 5?

4.Числа від 1 до 65 написані на 65 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число двоцифрове?

5.Числа від 1 до 75 написані на 75 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число просте?

6.Числа від 1 до 95 написані на 95 картках по одному на кожній. Вибрали навмання одну картку. Яка імовірність, що написане на картці число є квадратом повного числа.

7.Яка імовірність того, що навмання вибрана кісточка доміно має  такі цифри: або 1, або 3?

8.Серед чисел від 1 до 96 навмання вибирають одне число. Знайдіть ймовірність того, що в вибраному числі є цифра 1.

9.На кожній із чотирьох однакових карток записано одну із літер: А, М, К, С. Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово МАКС?

10. Де більше способів вибору:  три екзамени із 4 п’яти предметів чи два екзамени із 5 предметів? Обґрунтуйте.

11. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 96. Чому дорівнює середнє арифметичне цих трьох чисел і числа 84?

12. Середня площа трьох земельних ділянок дорівнює 50 га. Яка середня площа п'яти інших ділянок, якщо середня площа всіх восьми ділянок дорівнює 60 га?

Варіант 4

1.Яка ймовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 15?

2.Із чисел 1, 2, 3, … 80 навмання вибирають число. Знайдіть імовірність того, що це число ділиться на 5.

3.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випаде число очок, кратне 2?

4.Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Проте він пам’ятає, що ця цифра непарна. Знайдіть ймовірність того, що набрана цифра правильна.

5.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випаде число очок, кратне непростому числу?

6.Яка ймовірність того, що при одному підкиданні  двох гральних  кубиків випаде сума очок, кратне  числу 2?

7.Пан Коцький одного ранку зловив 20 маленьких, 35 середніх і 45 великих рибок. Яка ймовірність того, що при випадковому виборі однієї рибки він не візьме великої рибки?

8.Пан Коцький одного ранку зловив 30 маленьких, 15 середніх і 35 великих рибок. Яка ймовірність того, що Лисичка-сестричка, яка поцупила у Коцького одну рибку, ласуватиме великим екземплярчиком?

9. Олеся та Андрій кидають по одному разу стандартний гральний кубик. Знайдіть ймовірність того, що кількість очок у Олесі більша від кількості очок, що випали в Андрія.

10. Де більше способів вибору:  два екзамени із 5 п’яти предметів чи п’ять екзаменів із шести предметів? Обґрунтуйте.

11. Середнє арифметичне трьох чисел дорівнює 44. Чому дорівнює середнє арифметичне цих трьох чисел і числа 12?

12. Середня площа трьох земельних ділянок дорівнює 40 га. Яка середня площа п'яти інших ділянок, якщо середня площа всіх восьми ділянок дорівнює 50 га?