Властивості показникової функції

Конспект уроку на тему "Показникова функція, її властивості і графік"

     Мета уроку: вводити поняття показникової функції, її графіка; розглядати властивості показникової функції; ознайомлювати учнів із застосуванням її при розв'язуванні різноманітних задач; розвивати спостережливість, мислення, уміння аналізувати; виховувати всебічно розвинену особистість.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

     Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте у воду, а якщо хочете навчитися розв 'язувати задачі, то розв 'язуйте їх!

Д. Пойа

     Слова видатного вченого Д. Пойа є девізом до кожного уроку математики.

II. Мотивація навчання

     Вступне слово вчителя (можливий виступ учня)

     У природі, техніці, економіці трапляються процеси, в ході яких значення величини змінюється за законом показникової функції. Ці процеси називаються процесами органічного росту або затухання.

     Наприклад, розмноження бактерій (в ідеальних умовах), радіоактивний розпад речовини, приріст банківського вкладу, відновлення гемоглобіну в крові донора або пораненого тощо.

     У цих випадках процес зміни речовини може бути описаний функцією виду у=у0∙ах. Зупинимося на деяких прикладах детальніше.

     Приклад 1

     За законом показникової функції розмножувалося б все живе на Землі, якби для цього існували ідеальні умови: природні антагоністи і достатня кількість їжі.

     Підтвердженням цьому факту є розповсюдження кроликів у Австралії. Достатньо було випустити пару кролів і через деякий час їх кількість стала національною проблемою Австралії!

     Приклад 2

     Якби усі посіяні макові зерна проростали, то через 5 років число «нащадків» однієї рослини дорівнювало б приблизно 2000 рослин на 1 м2 суші.

     Приклад 3

     Потомство кімнатної мухи тільки однієї самки за літо може складати 8∙104. Вага цієї кількості мух складала б декілька мільйонів тон. За два роки пара мух дала б потомство, маса якого перевищила б массу земної кулі. І тільки наявність динамічної рівноваги в природі справедливо регулює цей процес.

     Приклад 4

     Відомо, що радіоактивний розпад речовини відбувається за законом , де М0 — початкова маса, М — маса, що лишилася, х — час.

Історична довідка

     Над питаннями, пов'язаними з показниковою функцією, працював Леонард Ейлер у XVIII ст. У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові і логарифмічні кількості». Також Ейлеру належить відкриття зв'язку між показниковою і тригонометричними функціями.

III. Вивчення нового матеріалу

     Розглянемо функцію у=ах. (Змінна знаходиться в показнику.)

     Чим ця функція відрізняється від у=хn? (Змінна в основі.)

     Учитель пропонує приклади (записані на дошці), після розв'язування яких учні повинні з'ясувати суть обмежень для основи а.

1. 42=…                                    6. (-4)2=…

2. =…                                   7. (-4)-2=…

3. 4-2=…                                   8. =…

4. 40=…                                    9. (-4)0=…

5. =…                                 10. =…

     Відповіді коментуються учнями з місця. Окрема увага приділяється прикладам 8 та 10.

     Як ми бачимо, при а>0 вираз ах означений при всіх дійсних значеннях х.

     Означення. Показниковою функцією називають функцію виду у=ах, де а>0 та а≠0.

     Учні записують означення в зошити.

     При а=1 вираз набуває вигляд у=1х, і ця функція називається показниковою.

     Побудуємо графіки двох показникових функцій:

у=2х (Рис. 1):

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у

 (Рис. 2):

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у

     Двоє учнів біля дошки заповнюють таблиці для значень у і будують графіки відповідних функцій.

     Решта учнів класу працюють у зошитах.

     Учитель. Взагалі графік функції у=ах при a>0 схожий на графік функції у=2х, а при 0<a<1 – на графік функції .

у=ах, а>0

Рис. 1

у=ах, 0<а<1

Рис. 2

     Графік показникової функції називають експонентою.

     Властивості відповідних функцій після обговорення разом з учителем учні записують у зошит.

IV. Закріплення нових знань та умінь

     Учитель. Використовуючи монотонність показникової функції, можна розв'язати наступні приклади:

     Приклад 1. Порівняйте m i n, якщо:

а) 8,1m>8,1n;

б) 0,3m>0,3n.

     Приклад 2. Порівняйте значення виразів:

а) 31,5 і 31,4;

б) ;

в) 0,78-0,7 і 0,78-0,6;

г) .

     Коментуючи кожен приклад, біля дошки працюють два учні.

V. Підсумок уроку

     Учитель підбиває підсумок уроку, виставляє оцінки учням, які активно проявили себе на уроці.

Додаткове завдання (за наявності часу).

     Задача. Якщо під час радіоактивного розпаду кількість речовини за добу зменшується удвічі, то після х діб від маси М0залишається маса

.

     Скориставшись цією формулою, знайдіть:

а) Скільки радіоактивної речовини залишиться через три доби?

б) Через скільки діб кількість речовини зменшиться у 128 разів?

     Розв’язання:

а) .

     Відповідь: Через три доби залишиться  початкової маси речовини;

б) .

     Відповідь: Через сім діб.