Упорядковані множини. Перестановки 

Відео-урок з математики:

Урок 1. Основні правила комбінаторики

Урок 2. Комбінаторика. Перестановки.

Урок 3. Розміщення та комбінації

Розв'язування задач з комбінаторики

Задача 1. З Києва до Чернігова можна дістатися пароплавом, поїздом, автобусом, літаком; з Чернігова до Новгород-Сіверська – пароплавом і автобусом. Cкількома способами можна здійснити подорож за маршрутом Київ – Чернігів – Новгород-Сіверськ?

Розв’язання. Очевидно, число різних шляхів з Києва до Новгород-Сіверська дорівнює 4∙2 = 8, бо, обравши один з чотирьох можливих способів подорожі від Києва до Чернігова, маємо два можливих способи подорожування від Чернігова до Новгород-Сіверська.

Такі міркування, які були проведені при розв'язуванні задачі 1, доводять справедливість такого простого тверджен­ня, яке будемо називати основним правилом комбінаторики.

Якщо деякий вибір А можна здійснити m різними спосо­бами, а для кожного з цих способів деякий другий вибір В можна здійснити n способами, то вибір А і В (у вказаному порядку) можна здійснити m∙n способами.

Інакше кажучи, якщо певну дію (наприклад, вибір шля­ху від Києва до Чернігова) можна здійснити m різними спо­собами, після чого другу дію (вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити n способами, то дві дії разом (вибір шляху від Києва до Чернігова, вибір шляху від Чернігова до Новгород-Сіверська) можна здійснити m∙n способами.

Задача 2. У розиграші першості країни з футбола бере участь 16 команд. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі?

Розв’язання. Золоту медаль може одержати одна з 16 команд. Після того, як визначено володаря золотої медалі, срібну медаль може мати одна з 15 команд. Отже, загальне число способів, якими може бути розподілена золота і срібна медалі, до­рівнює 16∙15 = 240.

Сформулюємо тепер основне правило комбінаторики (правило множення) в загальному вигляді.

Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n₁ способами, другу дію – n₂ способами, третю дію – n₃ способами і так до k-ї дії, яку можна вико­нати n_k способами, то всі k дії разом можуть бути виконані n_1∙ n_2∙ n₃∙…∙ n_k-1 n_k способами.

Задача 3. Скільки чотиризначних чисел можна склас­ти з цифр 0, 1,2, 3,4, 5, якщо:

а)         жодна цифра не повторюється більше одного разу;

б)         цифри можуть повторюватись;

в)         числа повинні бути непарними?
Розв'язання.  а) Першою цифрою числа може бути одна з 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не може бути, бо тоді число не чотиризначне); якщо перша цифра обрана, то друга може бути обрана 5 способами, третя – 4, четверта – 3. Згідно з правилом множення загальне число способів дорівнює 5∙5∙4∙3 = 300.

б)         Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 можливостей), для кожної з наступних цифр маємо 6 мож­ливостей (0, 1,2,3, 4, 5). Отже, число шуканих чисел дорів­нює 5∙6∙6∙6=5∙ 6³ = 1080.

в)         Першою цифрою може бути одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, а останньою – одна з цифр 1,3,5, (числа повинні бути не­парними). Отже, загальна кількість чисел дорівнює 5∙6∙6∙3 = 540.

Для того щоб добре засвоїти основне правило комбінато­рики, обов'язково треба розв'язати подані нижче вправи.

Вправи

4. Скільки існує п’ятицифрових чисел, для запису яких використовуються тільки цифри: а) 1, 2, 3, 4  б) 0, 1, 2, 3?( Кожна цифра може бути використана декілька разів). Відповідь: а)4⁵ , б) 3∙4⁴.

5.На вершину гори веде 7 доріг. Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї? Дайте відповідь на те ж саме запи­тання, якщо підняття і спуск відбуваються різними шляхами. Відповідь: 49 способи, 42 способи.

6.В наряд можна послати трьох чоловік, одного із п’яти офіцерів, одного із семи сержантів і одного із 20 солдат. Скількома способами можна скласти наряд?

Відповідь: 20∙7∙5.

7. а)Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5? Відповідь: 3⁵.

В наряд можна послати двох чоловік, одного із трьох сержантів і одного із 6 солдат. б)Скількома способами можна скласти наряд? Відповідь: 3∙6 =18.

8.Скільки різних дільників має число 3⁵∙5⁴? Відповідь: (5+1)∙(4+1) = 30. Скласти таблицю всіх дільників.

9. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

10. Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

11. В класі вивчають 14 предметів. В понеділок 7 уроків, причому всі уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

12. Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5?

13. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд на 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

14. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «математика»? Відповідь: 10!/(3!∙2!∙2!)

15.Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 33 букви алфавіту.

16. В селищі мешкає 1500 жителів. Довести, що принаймні два з них мають однакові  ініціали.

17. Скільки різних дільників має число 6⁶∙7⁴?

18. Скільки тризначних чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо кожну з цих цифр можна використовувати не більше одного разу? Відповідь: 5∙4∙3.

Скількома способами 7 осіб можуть розташуватись в чергу до каси? Відповідь: 7∙6∙8∙5∙4∙3∙2∙1.

19. В класі вивчають 10 предметів. В понеділок 6 уроків, причому всі
уроки різні. Скількома способами можна скласти розклад на понеділок?

Скільки є п'ятизначних чисел, які діляться на 5? Відповідь: 10∙9∙8∙7∙6∙5= 151200

20. П'ять хлопчиків і 5 дівчаток сідають в ряд не 10 розташованих поруч стільців, причому хлопчики сідають на місця з непарними номера­ми, а дівчатка – на місця з парними номерами. Скількома способами це можна  зробити? Відповідь: (5!)∙(5!)

21. Скільки різних слів можна утворити переставлянням букв у слові «арифметика»?

22. Автомобільні номери складаються з однієї, двох або трьох букв і чотирьох цифр. Знайти число таких номерів, використовуючи 30 букви алфавіту.

23. Скільки різних дільників має число 8³∙9⁴? Скласти таблицю всіх дільників цього числа.

24. Від А до В 999 км. Вздовж дороги стоять стовпи, на яких вказано відстані до А і до В | 0.999 | ; | 1.998| ; | 2.997] ; . . . ; | 999.0 |. Скільки серед них таких, на яких є тільки дві різні цифри? Відповідь: 40.

25. Пасажир залишив речі в автоматичній камері схову, а коли при­йшов одержувати речі, то виявилось, що він забув номер. Він лише па­м'ятає, що в номері були цифри 23 і 37. Щоб відкрити камеру, треба пра­вильно набрати п'ятизначний номер. Яку найбільшу кількість номерів треба перебрати, щоб відкрити камеру?

25. В прямокутній таблиці з m рядків і n стовпців записані числа +1 і -1 так, що добуток чисел в кожному рядку і кожному стовпці дорівнює 1. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь: Всі таблиці, які мають вказану в умові задачі властивість, можна скласти так. Всюди, крім останнього рядка і останнього стовпця, до­вільно виписуємо +1 і –1. Це можна зробити 2^(n-1)(m-1) способами. Нехай р – добуток всіх виписаних чисел. Тепер в кожному з перших m -1  рядів на перетині з n-м стовпцем виписуємо +1 або –1 так, щоб добуток чисел в усьому рядку дорівнював 1. Позначимо добуток чисел, які будуть виписані в n-му рядку, через x. Тепер в кожному з перших n-1 стовпців на перетині з m-м рядком випишемо теж +1 або –1 тaк, щоб добуток в стовпці дорівнював 1. Добуток чисел, які будуть виписані в m-му рядку, позначимо через у. Зауважимо, що х і у мають однаковий знак. Справді, рх = 1, ру = 1. і тому р²ху = 1, і, значить, ху > 0. Випишемо на перетині т-го рядка і л-го стовпця 1 з тим знаком, який мають х і у. Тоді добуток чисел в n-му стовпці і m-му рядку також до­рівнюватиме 1. Склали таблицю, яка має вказану властивість. Число всіх  таких   таблиць   дорівнює  2^(n-1)(m-1).

26. На залізниці є десять семафорів, кожний з яких може передати три сигнали: червоний, жовтий, зелений. Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх семафорів. Відповідь: 3^10.

27. Існує десять ліхтариків, кожен з яких може бути або включений, або виключений.Скільки різних сигналів можна передати за допомогою усіх ліхтарів? Відповідь: 2¹⁰.

28. Проста шашка знаходиться в крайньому нижньому лівому полі шахової дошки. Скількома різними способами вона може  пройти в дамки? Способи вважаються різними, якщо вони відміняються один від одного хоча б одним ходом.

Відповідь: На другу горизонталь шашка може перейти одним способом, на третю – двома, на четверту – трьома, на п’яту – шістьма, на шосту – дев’ятьма, на сьому горизонталь – двадцятьма способами, а пройти в дамки шашка може 35 способами.

29. У квадраті 3х3 клітинки верхня ліва точка позначена літерою А. Скільки можна побудувати трикутників, одною з вершин яких є точка А, а дві інші вершини – будь-які вершини квадратиків 1х1 даного квадрата? Відповідь: 25 трикутників.

План-конспект уроку

     Мета: сформувати поняття перестановки, ознайомити учнів з формулою для обчислення кількості перестановок з п елементів; формувати практичні навички учнів; розвивати абстрактне мислення; виховувати культуру математичних записів.

     Тип уроку: формування і вдосконалення знань, умінь і навичок.

     Обладнання: таблиця «Вибір правила», проектор, екран.

ХІД УРОКУ

I. Організаційна частина

II. Перевірка домашнього завдання

     1. Фронтальна перевірка виконання домашніх задач (учні зачитують розв'язання, обґрунтовуючи їх вивченим теоретичним матеріалом (див. таблицю «Вибір правила»).

     2. Бесіда за вивченим теоретичним матеріалом.

III. Оголошення теми і мети уроку

     Під час розв'язування комбінаторних задач розглядають скінченні множини, складені з елементів довільної природи, та їх підмножини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або й перше, і друге одночасно. Такі скінченні множини отримали назви: перестановки, розміщення ікомбінації. Сьогодні ми розглядатимемо перестановки, їх означення і властивості.

IV. Вивчення нового матеріалу

1. Розповідь учителя.

     Поняття перестановки пов'язане з поняттям упорядкованої множини.

     Упорядковані множини — це скінченні множини, для яких суттєвим є порядок розміщення їх елементів. Для позначення впорядкованих множин використовують круглі дужки.

     Наприклад: (а, b, с), ( 1; 6; 10) — скінченні впорядковані множини.

2. Актуалізація опорних знань учнів

     Де ми раніше зустрічалися з упорядкованими множинами?

     (У записах координат точок на площині та в просторі, координат векторів, у записах розв'язків системи рівнянь з двома чи трьома змінними, у розкладі уроків на кожний день тижня та ін.)

3. Означення

     Перестановками з п елементів називають будь-які впорядковані множини, кожна з яких містить усі пелементів, і які відрізняються одна від одної лише порядком розміщення елементів.

     Наприклад: з елементів множини А={3; 5; 8} можна утворити перестановки: (5; 8; 3), (5; 3; 8), (3; 8; 5), ( 3; 5; 8), (8; 3; 5), (8; 5; 3).

     Характеристичні властивості перестановок:

1) усі елементи однакові;

2) кількість елементів однакова;

3) порядок елементів важливий.

4. Інтерактивна вправа «Робота в группах»

     За столом сидить двоє учнів. Скільки існує перестановок для того, щоб їх розсадити за столом? Учні пересідають і роблять висновок: 2 перестановки.

     За стіл сідають 3 учні і виконують ту саму вправу: 6 перестановок.

     Якщо є час, можна виконати вправу і для 4 учнів: 24 перестановки.

5. Формула для обчислення кількості перестановок

     Кількість перестановок з п елементів позначають Рn. Вона дорівнює добутку всіх цілих чисел від 1 до п.

     Добуток 1∙2∙3∙...(n-1)∙п називають факторіалом і позначають п!.

     Читають: «n факторіал» (від лат. Factor — множник).

     Отже,

Рn=п!

Складемо таблицю факторіалів. Заповнюють таблицю учні самостійно.

Увага! За означенням

0!=1.

n	n!
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800

V. Розв'язування вправ

     Вправи розв'язуємо на дошці й у зошитах, коментуючи хід роботи.

     Задачі згруповані за складністю виконання у три рівні (особистісно-орієнтоване навчання). Вправи для розв'язування проектуються на екран.

     Рівень А

1. Обчисліть:

а) 8!+9!; б) .

(403 200; 5.)

2. Скільки п'ятицифрових чисел можна утворити за допомогою п'яти різних цифр, відмінних від нуля, не повторюючи цифри в запису числа?

(Р5=5!=120.)

3. Скоротіть дріб:

.

(1/72; 306.)

     Рівень Б

1. Розв яжіть рівняння .

(7.)

2. Обчисліть .

(131.)

3. Скільки різних «слів» можна одержати, переставляючи букви в словах «школа», «алгебра», «вишиванка»?

(.)

     Рівень В

1. Обчисліть: .

((k-2)(k-1)k.)

2. Скількома способами можна розмістити шахові тури на дошці, щоб жодна з них не могла побитии іншу?

(8!=40 320.)

3. Скільки необхідно взяти елементів, щоб число всіх перестановок, утворених з них, дорівнювало 362 880?

(9!=362 880.)

VI. Підсумок уроку

1. Які множини розглядають під час розв'язування комбінаторних задач?

2. Які множини називають скінченними впорядкованими?

3. Дайте означення факторіала. Чому дорівнює (3!)? (5!)?(1!)? (0!)?

4. Що називають перестановками з п елементів? Записати формулу для обчислення кількості перестановок з п елементів.

5. Назвіть характеристичні властивості перестановок.

Заняття 2. КОМБІНАТОРИКА 

Скількома способами можна проїхати з міста А в місто В? Скільки різних слів в мові Мумбо-Юмбо? Скільки існує "симпатичних" чоти­рицифрових чисел? ... Скільки ... ? Такі та деякі інші, схожі на них, питання будуть обговорюватися в цій главі.

Почнемо з декількох простих задач.

1. В магазині "Все до чаю"  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

Розв'язок. Виберемо чашку. У комплекті з нею можна вибрати будь-яке з трьох блюдець. Тому є три різні комплекти, які мають ви­брану чашку. Оскільки чашок всього 5, то кількість різних комплектів дорівнює 15. (15 = 5∙3).     

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

Розв'язок. Виберемо будь-який з 15 комплектів попередньої задачі. Його можна доповнити ложкою чотирма різними способами. Тому за­гальна кількість мождивих комплектів дорівнює 60 (60 = 15∙4 = 5∙3∙4).

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

Розв 'язок. 24 = 6∙4.

4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

Розв 'язок. Виділимо 2 випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. У кожному з цих випадків легко порахувати кількість різних маршрутів: в першому – 24, у другому – 6. Додаючи, отри­маємо загальну кількість маршрутів: 30.     

5. В магазині "Все до чаю" , як і раніше, продається 5 чашок, 3 блюдця та 4 чайні ложки. Скількома способами можна купити два предмети з різними назвами?

Розв'язок. Можливі три різні випадки: перший – купується чашка з блюдцем, другий – чашка з ложкою, третій – блюдце та ложка.  У кожному з цих випадків легко порахувати кількість можливих варіан­тів (в першому – 15, у другому  – 20, у третьому – 12). Додаючи, отримуємо загальну кількість можливих варіантів: 47.    

6. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

Розв'язок. Зрозуміло, що одноцифрових "симпатичних" чисел рівно 5. До кожного одноцифрового "симпатичного" числа друга непарна цифра може бути дописана п'ятьма різними способами. Таким чи­ном, двоцифрових  "симпатичних" чисел 5∙5 = 25. Аналогічно, три цифрових "симпатичних" чисел 5∙5∙5 = 125, а чотирицифрових – 5∙5∙5∙5 = 625.

Зауваження. В цій задачі розв'язок має вигляд mⁿ. До такого розв'язку приводять задачі, в котрих на кожному з n місць може бути поставлений елемент з деякої m-елементної множини. Ці задачі часто спричиняють труднощі у школярів, які не завжди розуміють,  яке з чисел є основою степеня, а  яке показник.

Запропонуємо ще чотири подібні задачі.

7.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати? Відповідь: 2³=8.

8. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

Відповідь: 2⁴ = 16.

9. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спорт прогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

Відповідь: 2¹³.

10. Алфавіт племені Мумбо-Юмбо складається з трьох літер А, Б та В. Слово – будь-яка послідовність, яка складається не більше як з 4 літер. Скільки слів в мові племені Мумбо-Юмбо?

Вказівка. Підрахуйте окремо кількість одно-, дво-, три- та чотирилітерних слів.

Розв 'язок. 3¹+ 3² + 3³ + 3⁴ = 120.

Перейдемо до другого циклу задач.

11. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капіта­на та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

Розв 'язок. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів. Після об­рання капітана на роль заступника можуть претендувати 10 чоловік, які залишилися. Таким чином, всього є 11∙10 = 110 різних варіантів виборів.     

Ця задача відрізняється від попередньої тим, що вибір капітана об­межує коло претендентів на роль заступника: капітан не може бути своїм заступником. Таким чином, вибори капітана та його заступника не виявляються незалежними  такими, як, наприклад, вибори чашки та блюдця в задачі 1.

Ось ще чотири задачі на цю тему.

12. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

Ров'язок. Колір для верхньої смуги прапору можна вибрати шістьма різними способами. Після цього для середньої смуги прапора зали­шається п'ять можливих кольорів, а потім для нижньої смуги пра­пора – чотири різні кольори. Таким чином, прапор можна зробити 6∙5∙4 = 120 способами.

13. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

Розв'язок. Білу туру можна поставити на будь-яку з 64 кліток. Незалежно від розташування вона б'є 15 полів (включаючи поле, на якому вона стоїть.). Тому залишається 49 полів, на які можна поставити чорну   туру. Таким чином, всього  64∙49 = 3136 різних способів.

14. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білого  і чорного королів так, щоб вийшла допустима правилами гри позиція.

Розв'язок.     Білого короля можна поставити на будь-яке з 64 полів. Але кількість  полів, котрі він при цьому буде бити, залежить від його розташування. Тому необхідно розглянути три випадки:

а)  якщо білий король стоїть в кутку (кутків всього 4), то він б'є 4 поля (включаючи те, на якому стоїть), і залишаються 60 полів, на які можна поставити чорного короля;

б) якщо білий король стоїть на кінці дошки, але не в кутку (таких полів – 24), то він б'є 6 полів, і для чорного короля залишається 58 можливих полів;

в)  якщо ж білий король стоїть не на кінці дошки (таких полів – 36), то він б'є 9 полів, і для чорного короля залишається 55 можливих полів.

Таким чином,  всього маємо 4∙60 + 24∙58 + 36∙55 = 3612 способів розставляння королів.

Займемося тепер підрахунком кількості способів, якими можна ро­зташувати в ряд n предметів. Такі розташування називаються пере­становками і відіграють помітну роль в комбінаториці та алгебрі. Але попередньо необхідно зробити невеликий відступ.

Нехай n – натуральне число, n! (читається "ен-факторіал") –  це добуток

1∙2∙3∙...∙n = n!. Таким чином,  0!=1,  1!=1,  2! = 1∙2=2, 3! = 1∙2∙3 = 6, 4! = 24, 5! = 120.

Методичні зауваження. Перед тим, як обговорювати перестановки, необхідно як слід засвоїти поняття факторіалу і навчитися з ним по­водитися. Для цього можуть бути корисними наступні вправи.

Вправа 1.  Чому дорівнює:

 а) 10!∙ 11;   б) n ! ∙( n + 1);  в) 3! – 4! – 0! –1! + 6!?

Вправа 2.  Обчислити а) 10!/8!; б) n!/(n - 1)! в) (n +1)!/(n - 1)!

Вправа 3. Доведіть, що, якщо р – просте число, то (р – 1)! не ділиться на р.

Слід мати на увазі, що для зручності написання деяких комбінатор­них тотожностей прийнято вважати, що 0! дорівнює 1.

Повернемося тепер до перестановок.

15. Скільки існує трицифрових чисел, в запису яких 1, 2, 3 зустрічаються рівно по одному разу.

Розв 'язок. Будемо міркувати так само, як при розв'язуванні задач по­переднього циклу. На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, на друге – будь-яку з двох, які залишилися, а на третє останню з цифр, яка залишилася. Таким чином, всього виходить 3∙2∙1 = 3!

16. Скількома способами можна викласти в ряд червону, чор­ну, синю та зелену кульки?

Розв 'язок. На перше місце можна покласти будь-яку з чотирьох ку­льок, на друге – будь-яку з трьох, які залишилися, на третє –  будь-яку з двох, які залишилися, а на четверте – останню кульку, яка залишилася. Таким чином, розв'язок: 4∙3∙2∙1 = 4!.     

Розмірковуючи так само, як при розв'язуванні двох останніх задач, легко довести, що n різних предметів можна викласти в ряд n∙( n –1)( n – 2)∙... ∙2∙1 різними способами, тобто кількість перестановок з n елементів дорівнює n!.

Для зручності формулювання задач наступного циклу умовимося називати словом будь-яку скінченну послідовність літер українського алфавіту. Скажімо, використовуючи літери А, Б, В рівно по одному разу, можна скласти 6 слів: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА; вико­ристовуючи літеру А двічі, а літеру Б один раз – три слова: ААБ, АБА, БАА. В наступних п'яти задачах необхідно з'ясувати, скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери того або іншого слова.

17. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

Розв 'язок. Оскільки всі літери слова різні, то всього можна отримати 6!=720 слів.

 18. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

Розв'язок. У цьому слові дві літери І, а всі інші літери різні.   Тимчасово будемо вважати різними і літери І, позначивши їх як І₁  та І₂. При цьому припущенні отримаємо 5! = 120 різних слів. Але ті слова, які дістаються одне з одного тільки переставленням літер І₁  та І₂, насправді однакові, Таким чином, отримані 120 слів розбиваються на пари однакових.    Тому різних слів всього 120 : 2 = 60.    

19.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

Розв'язок. Вважаючи три літери А цього слова різними (А1, А2, А3), дістанемо 8!  різних слів. Але слова, які відрізняються лише пере­ставленням А1, А2, А3, насправді однакові. Через те, що літери А1, А2, А3 можна переставляти 3! способами, всі 8! слів розбиваються на групи з 3! однакових. Тому різних слів всього 8!/3!.

20.  Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ОРТОГОНАЛЬНИЙ"?

Розв'язок. В цьому слові три літери О та дві літери Н. Вважаючи всі літери різними, отримуємо 13! слів. Ототожнюючи слова, які відрізня­ються лише переставленням літери Н, але не О, дістанемо 13!/2! різних слів, ототожнюючи тепер слова, які відрізняються переставленням літер О, отримаємо остаточний результат 13!/(2!∙3!).    

21.  "МАТЕМАТИКА". Відповідь. 10!/(3!∙2!∙2!).

Цикл задач про слова продемонстрував одне змістовне міркуван­ня ідею кратного підрахунку. Замість підрахунку кількості об'єктів, які нас  цікавлять, іноді буває зручно перерахувати інші об'єкти, кіль­кість яких перевищує кількість вихідних в число разів, яке нам відоме. Ось ще чотири задачі, при розв'язанні яких використовується цей спосіб.

22.  В країні 20 міст, кожні два з яких з'єднані авіалінією. Скільки авіаліній в цій країні?

Розв'язок. Кожна авіалінія з'єднує два міста. За перше місто мож­на взяти будь-яке з 20 міст (місто А), за друге – будь-яке з 19, які залишилися (місто В). Перемноживши ці числа, дістаємо 20∙19 = 380. Але при цьому підрахунку кожна авіалінія врахована двічі (перший раз, коли за перше місто було вибрано місто А,  друге  – місто В, а другий раз – навпаки). Таким чином, кількість авіаліній дорівнює 380:2 = 190. 

23.  Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

Розв'язок. За перший кінець діагоналі можна взяти будь-яку з n  вершин, а за другу – будь-яку з n – 3 вершин, відмінних від вибраної та двох сусідніх з нею (див. мал. 10). При цьому підрахунку кожна діагональ обліковується двічі. 

Відповідь. n(n - 3)/2.

24. Намисто – це кільце, на яке нанизано намистинки. На­мисто можна повертати, але не перевертати. Скільки різних намист можна зробити з 13 різнокольорових намистин (див. мал. 11)?

Розв 'язок. Уявимо собі на деякий час, що намисто не можна повер­тати. Тоді його можна зробити 13! різними способами. Але будь-яке місцезнаходження намистин та 12 варіантів, які дістаються з нього поворотами, слід вважати одним варіантом намиста.   Відповідь. 13!/13 = 12!.

25. Припустимо тепер, що намисто можна й перевертати. Скільки тоді різних намист можна зробити з 13 різнокольорових на­мистин?

Розв 'язок. Перевороти скорочують кількість намист у 2 рази.  Відповідь. 12!/2.

Наступна задача ілюструє ще одне важливе комбінаторне міркування.

26.  Скільки існує 6-цифрових чисел, в напису  яких є при­наймні одна парна цифра? Розв'язок. Замість того, щоб підраховувати кількість потрібних 6-

цифрових чисел, визначимо кількість 6-цифрових чисел, яким не при­таманна необхідна, властивість. Оскільки це точно ті самі числа, в напису яких зустрічаються тільки непарні цифри, то їх кількість, оче­видно, дорівнює 5⁶ = 15625. Всього 6-цифрових чисел 900000 Тому кількість 6-цифрових чисел, яким притаманна вказана властивість, дорівнює 900000-15625 = 884375.  

Основним моментом при розв'язуванні цієї задачі був так знаний перехід до доповнення: підрахунок "непотрібних" варіантів замість підрахунку "потрібних". Ось ще одна задача, розв'язуючи яку, кори­сно послуговуватися цим міркуванням.

Задача 27.  В абетці племені Бум-Бум шість літер. Словом є будь-яка, послідовність, з шести літер, в якій є принаймні дві однакові літери. Скільки слів в мові племені Бум-Бум?

Відповідь, 6⁶ - 6!.

Для викладачів. На закінчення хотілося б відзначити, що ідеї, яка об'єднує задачі виділеного в главі циклу, природно присвятити окреме заняття. При цьому необхідно весь час повертатися до вже пройденого матеріалу. Тому ми надаємо додатковий список задач для самостій­ного розв'язання.

Задачі для самостійного розв'язання.

Задача 28. В кіоску "Друк України" продаються 5 видів конвертів та 4 види марок. Скількома способами можна, купити конверт з маркою?

Задача 29. Скількома способами можна, вибрати голосну та приго­лосну літери зі слова "КРУЖОК"?

Задача 30. На дошці написано 7 іменників, 5 дієслів та 2 прикмет­ники. Для речення треба вибрати по одному слову кожної з цих частин мови. Скількома способами це можна зробити?

Задачі  31.  У двох колекціонерів-початківців є по 20 марок і по 10 значків.    Чесним обміном називається обмін однієї марки на одну марку або одного значка на один значок.   Скількома способами колекціонери можуть здійснити чесний обмін?

Задача 32. Скільки існує 6-цифрових чисел, всі цифри яких мають однакову парність?

Задача 33. Треба відіслати 6 термінових листів. Скількома спосо­бами це можна зробити, якщо для передачі листів можна використати трьох кур'єрів і кожен лист можна дати будь-якому з кур'єрів?

Задача 34. Скількома способами з повної колоди (52 карти) можна вибрати 4 карти різних мастей і вартості?

Задача 35. На полиці стоять 5 книг. Скількома способами можна викласти в купку декілька з них (купка може складатися і з однієї книги)?

Задача 36. Скількома способами можна поставити 8 тур на шахову дошку так, щоб вони не били одна одну?     

Задача 37. На танцмайданчику зібралися N юнаків та N дівчат. Скількома способами вони можуть розбитися на пари для участі в черговому танці?      у

Задача 38. Чемпіонат України по шахам проводиться в одне коло. Скільки грається партій, якщо участь беруть 18 шахістів?

Задача 39. Скількома способами можна поставити на шахову дошку а) дві тури; б) двох королів; в) двох слонів; г)двох коней; д) двох ферзів так, щоб вони не били одне одного?

Задача 40. У мами два яблука, три груші та чотири апельсини. Кож­ного дня протягом дев'яти днів підряд вона дає синові один з фруктів, які залишилися. Скількома способами це може бути зроблено?

Задача 41. Скількома способами можна поселити 7 студентів в З кімнати: одномісну, двомісну та чотиримісну?     

Задача 42. Скількома способами можна розставити на першій гори­зонталі шахової дошки комплект білих фігур (король, ферзь, дві тури, дна слони та два коні)?

Задача 43. Скільки слів можна скласти з п'яти літер А і не більш як її трьох літер Б?

Задача 44. Скільки існує 10-цифрових чисел, в яких маємо принаймні ми однакові цифри?

Задача 45. Яких 7-цифрових чисел більше:  тих, в запису яких є  І ЧИ інших?

ВІДПОВІДІ, ВКАЗІВКИ, РОЗВ'ЯЗКИ

28. 5∙4=20     29. 2∙3=6     30. 7∙5∙2=70      31. 20∙20+ 10∙10 = 500    32. 5⁶+4∙5⁵       33. 3⁶    34. 13∙12∙11∙10

35. 5 + 5∙4 + 5∙4∙3 + 5∙3∙2 + 5∙4∙3∙2∙1 = 325     36. 8!     37. n!   38. 18∙17/2 = 153    39. а) 64∙49/2 = 1568;  б) (4∙60+24∙58 + 36∙55)/2 = 1806; в) (28∙56 +20∙54 + 12∙52 + 4∙50)/2 = 1736; г) (4∙61 + 8∙60 + 20∙59 + 16∙57 + 16∙55)/2 = 1848; д) (28∙42 + 20∙40 + 12∙38 + 4∙36)/2 = 1288.

40. 9!/2!3!4!     41. 7!/1!2!4!    42. 8!/2!2!2!    43. 1 + 6!/5! 1! + 7!/5! 2! + 8!/(5!∙3!) = 84  44. 9∙10⁹ – 9∙9!

45. 8∙9 < 9∙10⁶ – 8∙9⁶, і тому чисел а одиницею більше.   46. 6³-5³    47. 13∙11∙9∙7∙5∙3∙1   48. 9∙10^7∙5