Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Конспект уроку на тему "Найбільше і найменше значення функції на відрізку"

Мета: повторювати поняття найбільшого і найменшого значення функції, вводити поняття найбільшого і найменшого значення функції на відрізку, формувати вміння знаходити найбільше і найменше значення функції на відрізку, розвивати навички самостійного мислення, увагу, пам'ять, пізнавальну цікавість до математики, виховувати охайність.

Тип уроку: комбінований.

ХІД УРОКУ

I. Перевірка домашнього завдання

Учні-помічники вчителя доповідають про наявність домашнього завдання в учнів (перевіряють до початку уроку). Учитель відповідає на питання, які виникли в учнів під час його виконання.

II. Актуалізація опорних знань

Слайд 1

Знайти похідні заданих функцій усно:

1) у=3х2+8х-3;

2) ;

3) ;

4. ;

5) у=5sin х-4соs х;

6) у=соs 6х.

Знайти критичні точки функції, якщо її похідна дорівнює:

1) х2+8х;

2) х2+4х-5;

3) х2-16;

4) х3+8.

III. Пояснення нового матеріалу

Учитель. У нашому житті дуже часто трапляються ситуації, коли потрібно вирішити деяке питання у найкоротший термін або з найменшими витратами, кажуть, знайти оптимальне розв'язання.

Наприклад, організувати доставку товару найкоротшим шляхом або виготовити певну річ, витративши на це найменшу кількість матеріалу. Питання про знаходження оптимального розв'язання цікавило людей завжди. Давайте разом пригадаємо оповідання Л. Толстого «Много ли человеку земли надо?» про селянина Пахома, який купляв землю у башкирців.

(Двоє учнів показують інсценування уривку з цього оповідання.)

—А цена какая будет? — говорит Пахом.

—Цена у нас одна: 1000 рублей за день.

(Не понял Пахом.)

—Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?

—Мы этого, — говорит, — не умеем считать. А мы за день продаем; сколько обойдешь за день, то твое, а цена 1000 рублей.

(Удивился Пахом.)

—Да ведь это, — говорит, — в день обойти земли много будет.

(Засмеялся старшина.)

—Вся твоя, — говорит. — Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

Яким же шляхом потрібно було йти Пахому, щоб купити найбільшу ділянку землі? На це питання ми зможемо відповісти на уроці.

Учитель повідомляє тему і мету уроку.

Слайд 2

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Спочатку розглянемо суто математичну задачу. Нехай на малюнку зображено графік функції у=f(х),заданої на відрізку [а, b], і необхідно знайти її найбільше і найменше значення на цьому відрізку.

Розглянемо різні можливі випадки (рис. 1—3).

Слайд 3

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Можна помітити, що своє найбільше або найменше значення функція може приймати або в точках екстремумів, або на кінцях заданного відрізку. Тому для розв'язання задачі на знаходження найбільшого і найменшого значення функції, заданої на відрізку, необхідно виконати такі кроки.

Слайд 4

Алгоритм

1. Знайти похідну f(x).

2. Знайти критичні точки.

3. Вибрати з отриманих критичних точок ті, які належать заданому відрізку.

4. Знайти значення функції f(x) у вибраних критичних точках і на кінцях заданого відрізка.

5. Вибрати з отриманих значень найбільше і найменше.

Зразок

f(x)=х3-3х2+3 на [-1; 1].

1. f'(x)=3x2-6x;

2. 3х2-6х=0;

3x(x-2)=0;

х=0 або х=2.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

3. х=0 належить проміжку [-1; 1].

4. f(0)=03-3∙02+3=3;

f(-1)=(-1)3-3∙(-1)2+3=-1;

f(1)=13-3∙12+3=1.

5. Найбільше значення функції на відрізку [-1; 1] дорівнює 3.

Найменше значення функції на відрізку [-1; 1] дорівнює -1.

IV. Закріплення матеріалу

1. №13.1. [1]

2. Знайти найбільше і найменше значення функції:

f(x)=2х2-9x2-3 на відрізку [-1; 4]

Розв'язання

Знайдемо похідну: f(x)=6х2-18х.

Знайдемо критичні точки:

6х2-18х=0;

6х(х-3)=0;

х=0 або х=3.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Точки х=0 і х=3 належать проміжку [-1; 4].

Знайдемо значення функції у критичних точках і на кінцях відрізка:

f(0)=2∙03-9∙02-3=3;

f(3)=2∙33-9∙32-3=-30;

f(-1)=2∙(-1)3-9∙(-1)2-3=-14;

f(4)=2∙43-9∙42-3=-19.

Найбільше значення функції на відрізку [-1; 4] дорівнює 3.

Найменше значення функції на відрізку [-1; 4] дорівнює -30.

Відповідь: 3; -30.

3. А тепер повернемося до задачі про селянина Пахома.

Нехай швидкість руху чоловіка 5 км/год. І він може безперервно рухатись 8 годин. Отже, за день він може пройти 40 км. Ділянка для зручного ведення господарства повинна мати форму прямокутника. Складемо математичну модель цієї задачі.

Периметр прямокутника дорівнює 40 км. Якими мають бути розміри цього прямокутника, щоб його площа набувала найбільшого можливого значення?

Позначимо одну сторону прямокутника х, тоді друга буде 20-х, площа прямокутника дорівнює х(20-х). З умови задачі випливає, що . Таким чином, задача звелася до знаходження найбільшого значення функції f(х)=20х-х2на відрізку [0; 20].

Знайдемо похідну:

f'(х)=20-2х.

Знайдемо критичні точки:

20-2х=0;

х=10.

Точок, в яких похідна не існує, немає.

Точка х=0 належить проміжку [0; 20].

Знайдемо значення функції у критичній точці і на кінцях відрізка:

f(0)=0;

f(20)=0;

f(10)=100.

Звідси отримуємо, що функція f(х)=20х-х2на інтервалі (0; 20) набуває найбільшого значення при х=10.

Таким чином, із усіх прямокутників із периметром 40 км найбільшу площу має квадрат.

Відповідь: квадрат зі стороною 10 км.

4. Розглянемо ще одну прикладну задачу. Нехай Маші у спадок дісталась ділянка землі 9 соток, тобто 900 м2 для ведення господарства і у неї є вибір, якими мають бути розміри цієї ділянки. Як їй вчинити, щоб витрати на огорожу були найменшими?

Розв'язання

Позначимо одну сторону прямокутної ділянки за х, а другу за , тоді периметр буде . Знайдемо найменше значення функції  на інтервалі (0; ∞). Шукаємо похідну: .

Шукаємо критичні точки:

х=30 і х=-30 (не входить в інтервал).

Знаходимо знак похідної зліва і справа від критичної точки:

f'(20)<0;

f'(40)>0,

Отже, х=3 — точка мінімуму.

Таким чином, функція приймає своє найменше значення при х=30. Отримуємо, що оптимальні розміри ділянки 30×30 метрів.

Відповідь: квадрат зі стороною 30 м.

5. Самостійна робота на швидкість (перші три учні, які правильно розв'язали завдання отримують оцінки 12, 11, 10 балів відповідно).

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Слайд 5

Варіант 1:

.

Варіант 2:

.

Відповідь: 1) 8; -4,25; 2) 8; 4.

V. Підбиття підсумків уроку, домашнє завдання

п. 13 [1], розв'язати № 13.2, 13.4.

Використані джерела

1. Мерзляк А. Г, Номіровський Д. А., Полонський В. Б, Якір М. С. Алгебра. Підручник для 11 класу. Академічний рівень. Профільний рівень. — X.: Гімназія, 2011.