Показникові рівняння. Показникова функція, її графік та властивості

Конспект уроку на тему "Показникова функція, її графік та властивості"

Мета: давати учням поняття показникової функції, її властивостей; виховувати культуру математичних записів; розвивати самостійність, логічне мислення.

Обладнання: А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. Підручник. Алгебра 11 клас. Академічний рівень, профільний рівень. — X.: «Гімназія». — 2012.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент

У природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов'язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакових проміжків часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні. Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вищевказаному закону.

Приклад 1. При радіоактивному розпаді масса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Процеси, в яких величина зменшується за рівні проміжки часу в одному і тому ж відношенні, називають процесами органічного спадання.

Приклад 2. Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. У таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Якщо в початковий момент часу (тобто t=0) значення величини дорівнювало 1, а в момент часу t=1 воно дорівнювало а, то в момент часу t=2 величина буде мати значения а2, а в момент часу t=3 — значенняа3, у момент часу t=п — значення аn. Але масу радіоактивної речовини або колонії бактерій можна спостерігати і в інші моменти часу, наприклад через 3, 2 одиниці часу після початку спостереження. Можна поставити запитання і про те, яка була маса за деякий час до початку спостереження. Позначатимемо цю кількість в момент часу t через аt незалежно від того, чи є t натуральним числом чи ні. Таким чином, значення t може бути цілим, дробовим, ірраціональним, додатнім, нульовим і від'ємним (в останньому випадку мова йде про моменти часу, що передували початку спостереження).

У всіх розібраних прикладах значення виразу аt при всіх значеннях t додатне.

При а>1 значення аt збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0<а<1 значення аtзменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду).

Оскільки проміжки часу [0; Т] і [t0; t0+T] мають однакову довжину Т, значення аt протягом цих проміжків часу змінюються в одному і тому ж самому відношенні.

Тому справедлива пропорція , з якої випливає, що: аT...аt0=а0...аt0+T. Але а0=1, тому справедлива рівність аT∙аt0=at0+T.

Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція ах, де а>0.

Історія показникової функції

Історія показникової функції починається з далеких часів.

Нам відома легенда про арабського царя, у якого винахідник шахівниці зажадав за свій винахід зерна. Причому за першу клітку — 1 зерно (20), за другу — два просив винахідник (21), за третю — чотири (22), за четверту — вісім (23), за п'яту — шістнадцять (24), за шосту — тридцять два (25) і т. д. Чимало часу цар витратив на підрахунок. Коли ж підрахували — розплакалися: вийшло вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев'ять мільйонів п'ятсот п'ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять (число двадцятизначне!). Цього зерна вистачило, щоб засіяти всю сушу та їсти його довелося б мільйони років!

Рис. 1

Ще за стародавніх часів було поширене лихварство — віддавання грошей у позику під відсотки. Селянин у разі неврожаю, ремісник, майно якого знищила пожежа, розорений торгівець змушені були йти до лихваря, обіцяючи наступного року повернути суму значно більшу, ніж узята в позику. Наприклад, у Давньому Вавилоні лихварі брали по 20% лихви на рік. Якщо боржник не міг повернути борг наступного року, йому треба було платити відсотки не тільки з позиченого капіталу, а й з відсотків, що виросли за рік. Тому через 2 роки слід було заплатити не 40 %, а 44 % лихви, адже 1,22=1,44. За 5 років сума боргу збільшувалася в 1,25 разів, тобто майже в 2,5 рази, а за 10 років—більш, ніж у 6 разів. Зрозуміло, що більшість боржників були не в змозі повернути борг і, давно виплативши основну суму боргу, були змушені все життя працювати на те, щоб виплатити зростаючі відсотки. Нарешті, зубожілі боржники ставали рабами хижого лихваря.

Рис. 2

У XIV—XV ст. у Західній Європі почали з'являтися банки (франц. «banque» — лава, контора) — установи, які давали гроші в позику князям і купцям, фінансували за великі відсотки далекі мандрівки та завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, складали таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму треба виплатити через п років, якщо була взята сума під % річних. Легко підрахувати, що сума, яку треба заплатити, виражається формулою:

.

Якщо р — стале, то Аn є функцією від п. Такі таблиці давали значення показникової функції при різних значеннях основи і натуральних значеннях п.

Рис. 3

Термін «показник» (нім. exponent, лат. ехропеге — «виставляти на показ»; exponens, exponentis — «що виставляється на показ», «той, що показується») для степеня увів у 1553 р. німецький математик (спочатку монах, а потім — професор) Михайль Штифель (1487—1567). Він увів дробові й нульові показники. Позначення ах для натуральних показників увів Рене Декарт (1637), а вільно поводитися з такими самими дробовими й від'ємними показниками почав із 1676 р. Ісаак Ньютон. Степені з довільними дійсними показниками, без будь-якого загального означення, розглядали Лейбніц та Иоганн Бернуллі. 1679 р. Лейбніц увів поняття експоненціальної (тобто показникової) функції для залежності у=ах та експоненціальної кривої для графіка цієї функції. Коротке найменування «експонента» відображено в одному з позначень: а=ехра х. Через ехр(х) позначається конкретна експонента — з показником а=е=2,71828.., яка введена у велику кількість мов програмування.

Отже, показникова функція не випадково народилася, органічно увійшла у життя і знайшла широке застосування. Показникові функції трапляються в найрізноманітніших галузях науки — фізиці, хімії, біології, економіці, інформатиці, медицині, лісництві, картографії, будівництві тощо.

II. Актуалізація опорних знань

1. Що таке функція?

Залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у. При цьому х називають аргументом (незалежною змінною), у — функцією (залежною змінною).

2. Які ви знаєте способи задання функції?

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

3. Що таке область визначення функції?

Область визначення функції — це всі значення, які може приймати аргумент (змінна х).

4. Що таке область значень функції?

Область значень функції — це всі значення, які може приймати функція (змінна у) при всіх х із області визначення функції.

5. Яка функція називається спадною?

Функцію у=f(x) називають спадною, якщо більшому значенню аргументу де відповідає менше значення функції y=f(x).

6. Яка функція називається зростаючою?

Функцію у=f(x) називають зростаючою, якщо  більшому значенню аргументу де відповідає більше значення функції y=f(x).

7. Що називається графіком функції?

Графіком функції y=f(x) називається множина всіх точок координатної площини (х, f(x)), у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

III. Мотивація навчання

Нині багато говорять про інформаційний бум. Стверджують, що кількість інформації подвоюється кожні десять років. Зобразимо цей процес у вигляді графіка деякої функції, де x —десятиліття, у — обсяг інформації.

Візьмемо обсяг інформації в деякий початковий рік за 1. Удвічі більший відрізок поставимо над одиничною оцінкою, вважаючи, що оцінка відповідає першому десятку років. Удвічі більший відрізок відповідає другому десятку років, ще вдвічі більший — третьому і т. д. Обране нами значення аргументу є елементами арифметичної прогресії: 2, 4, 8,... Додамо до отриманих значень результати з від'ємним аргументом. Отримали функцію у=2х.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y=2x				1	2	4	8

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Перед нами графік показникової функції у=2х (рис. 4). Головна особливість графіка цієї функції — її «крутизна».

Рис. 4

IV. Повідомлення теми уроку

Показникова функція, її графік і властивості.

V. Сприймання та усвідомлення нового матеріалу

Функція виду у=ах, де а>0, а≠1 називається показниковою (з основою а).

Усне виконання вправ

Які із поданих функцій є показниковими:

а) у=2х;

б) у=х3;

в) у=(-5)х;

г) ;

д) y=(0,3)x;

е) y=πх;

ж) у=6?

Відповідь: а); г); д); е).

1. Розглянемо властивості показникової функції y=2x:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх додатних чисел.

3. Функція у=2х— зростаюча на множині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь у в точці (0; 1).

Виконання вправ

1. Чи є серед значень функції y=2х:

а) найбільше;

б) найменше?

Відповідь: ні.

2. Порівняйте значення виразів:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь:

а) ;

б) ;

в) .

3. Розташуйте числа  у порядку зростання.

Відповідь: .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що правильна нерівність:

а) 2х>2у;

б) 2х<2у.

Відповідь: а) х>у; б) х<у.

5. На рисунку 5 зображено графіки функцій у=2х і у=3х. Що є спільного в цих графіках і чим вони відрізняються?

Рис. 5

Відповідь: ці функції мають однакові властивості, функція у=3хзростає більш швидше (графік цієї функції піднімається вгору більш «круто»).

2. Побудова графіка функції

Побудуємо графік функції . Для цього складемо таблицю значень функції (табл. 1).

Таблиця 1

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	8	4	2	1

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Отримаємо графік функції  (рис. 6).

Рис. 6

Сформулюємо властивості функції:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх додатних чисел.

3. Функція  — спадна на множині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь у в точці (0; 1).

Виконання вправ

1. Чи є серед значень функції :

а) найбільше;

б) найменше?

Відповідь: ні.

2. Порівняйте значення виразів:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Відповідь:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Розташуйте числа  у порядку зростання.

Відповідь: .

4. Порівняйте х і у, якщо відомо, що правильна нерівність:

а) ;

б) .

Відповідь: а) х<у; б) х>у.

5. Що є спільного в графіках функцій у=2х і  і чим вони відрізняються? (рис. 7)

Рис. 7

а) Як розташовані графіки функцій відносно один до одного?

Відповідь: графіки розташовані симметрично відносно осі ОY.

б) Чи мають спільну точку графіки?

Відповідь: так.

VI. Систематизація вивченого матеріалу

Враховуючи вищезазначене, можна зробити висновки про властивості показникової функції.

1. Область визначення показникової функції — множина R дійсних чисел, бо степінь аx, де а>0, визначений для всіх .

2. Множина значень показникової функції — множина всіх додатних дійсних чисел.

3. Показникова функція у=аx є зростаючою на множині дійсних чисел, якщо а>1, і спадною, якщо 0<а<1.

4. Якщо x=0, то у=а0=1.

5. Якщо х>0, то у>1, якщо а>1, і у<1, якщо 0<а<1.

6. Якщо х<0, то у<1, якщо а>1, і у>1, якщо 0<a<1.

7. Графіком показникової функції є крива, яка називається експонентою.

8. Показникова функція є неперервною.

9. Показникова функція є диференційованою.

Записати в робочому зошиті властивості показникової функції y=ахвигляді таблиці (табл. 2).

Таблиця 2

Показникова функція у=ах, a>0, a≠1
a>1	0<a<1
1. D(y)=R	1. D(y)=R
2. E(y)=(0; +∞)	2. E(y)=(0; +∞)
3. Зростає х1>x2↔ax1>ax2	3. Спадає х1>x2↔ax1<ax2
4. Якщо х=0, то у=1	4. Якщо х=0, то у=1
5. Якщо х<0, то у<1	5. Якщо х<0, то у>1
6. Якщо х>0, то у>1	6. Якщо х>0, то у<1

Виконання вправ:

1. №16.8. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:

1) y=10x;

2) ;

3) y=2-x;

4) y=;

5) y=2x∙3x;

6) .

Відповідь: 1) зростаюча; 2) спадна; 3)спадна; 4) зростаюча; 5) зростаюча; 6) спадна.

2. Порівняйте значення виразів: №16.11.

1) 53,4 i 53,26;

2) 0,30,4 і 0,30,3;

3) ;

4) 0,17-3 і 1;

5) ;

6) .

Відповідь:

1) 53,4 > 53,26;

2) 0,30,4 < 0,30,3;

3) ;

4) 0,17-3 > 1;

5) ;

6) .

3. Порівняйте х і у, якщо відомо, що правильна нерівність:

а) 0,02х<0,02у;

б) πх>πу.

Відповідь: а) х>у; б) х<у.

4. №16.13. Порівняйте з числом 1 додатне число а, якщо:

1) ;

2) ;

3) a-0,3>a1,4;

4) .

Відповідь: 1) а>1 ; 2) 0<а<1 , 3) 0<а<1, 4) а>1.

VII. Підсумок уроку

Отже, розглянута нами теорія дає можливість для розв'язування текстових задач, показникових рівнянь та нерівностей. Вкажемо інші випадки органічної зміни величин:

а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні;

б) тиск повітря при цій різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні;

в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні;

г) при радіоактивному розпаді маса речовини змінюється за законом: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні;

д) якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її масса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=ах, експоненціальними процесами.