Обчислення квадратних коренів, що має безліч радикалів

Похідна та її зміст в різних науках

Час поширення світлового променя у масштабованій моделі Земля-Місяць. Для подолання відстані від поверхні Землі до поверхні Місяця променю світла потрібно 1,255 с

ОЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇ

Нехай  задано функцію формулою у = f(х).

Означення. Похідною функції у = f(х) в точці х_o називається, границя відношення приросту функції  Δf(х_o) в точці  х_o до приросту аргументу Δх, коли приріст аргументу прямує до нуля (можна позначити у ' або f '(х))
    

f '(х) =,
Обчислення.  f '(х) = lim _{Δx ->0}(Δу/Δх)  

f '(х) = lim _{Δx ->0}(f(х_o + Δх) - f(х_o))/Δх

Означення. Операція знаходження похідної називається

диференціюванням.
Знайти відношення приросту функції до приросту аргументу

Приклад. Знайти за означенням похідну функції в точці


Приклади множини дотичних до графіка функції.

Дотична до графіка функції і геометричний зміст похідної

Означення. Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне поло­ження січної МN, коли точка N наближається вздовж кривої до точки М

f '(х_o) = tg φ

k - кутовий коефіці­єнт дотичної

k = tg φ = f '(х_o) )

y = f(x_о) + f '(x_о) (x - x_o)      -

рівняння дотичної до графіка функції y = f(х) в точці з абсцисою х_о.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Значення похідної в точці x_о дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x_о і дорівнює тангенсу кута нахилу цієї дотичної до осі Ох (кут відраховують від додатного напрямку осі Ох проти го­динникової стрілки).

  

Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції ƒ необхідна умова щоб функція ƒ була неперервною, але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або майже у всіх точках. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційовна в більшості точок. Для м'яких умов, наприклад якщо маємо монотонну функцію або Ліпшицеву функцію це формулювання справедливе. Проте в 1872 Вейерштрас знайшов перший приклад функції, яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як функція Веєрштраса. В 1931 році Стефан Банах довів, що множина функцій, які мають похідну хоча б в якійсь точці є множина першої категорії в просторі всіх неперервних функцій.^[1]

ФІЗИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

Похідна характеризує швидкість змінн функції при зміні аргументу; зокрема,

S = S(t) – функція(формула шляху) залежність пройденого шляху від часу.

v(t) = S'(t) – функція швидкості прямолінійного руху(формула швидкості).

а = v '(t) =  S''(t) – функція прискорення прямолінійного руху (формула швидкості).

Похідна за часом є міра швидкості зміни, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість у нерівномірного прямолінійного руху є похідна від функції, яка виражає за­лежність пройденого шляху S від чaсу t.

Швидкість світла у вакуумі — абсолютне значення швидкості поширення електромагнітних хвиль у вакуумі. Традиційно позначається літерою латинського алфавіту «c»^[3]. Швидкість світла у вакуумі — фізична стала, що не залежить від вибору інерційної системи відліку. Вона відноситься до фундаментальних фізичних сталих, що характеризують не просто окремі тіла чи поля, а властивості простору-часу у цілому. За сучасними уявленнями швидкість світла у вакуумі — гранична швидкість руху і поширення взаємодій.

Точне значення швидкості світла зафіксувала резолюція 1 17-ої Генеральної конференції мір і ваг^[4]:

c = 299 792 458 м/с.

ФОРМУЛИ ТА ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

Таблиця похідних елементарних функцій

с' = 0          (с - стала)

(сf(х))' = сf '(х) (с - стала)

Правилo:  Сталий множник можна виносити за знак похідної/

Приклади:  0' = 0; 6 ' = 0; (- 4)' = 0; (-2(5)^0,5) ' = 0.

х ' = 1

Приклади:  (х + 4)' = 1 + 0 = 1; (6х) ' = 6; (- 4х)' = -4; (-2х + 7) ' = -2.

(x^а)'= аx^а-1 (а - стала)

Окремі випадки

(x^0,5)' = 0,5x ^{– 0,5} = 1/(2x^0,5);

(x²)' = 2x;

(x³)' = 3x²;

(x ^-1)' = - x ^-2 = -1/(x²);

(x ^-2)' = - 2x ^-3 = -2/(x³);

(x^1/3)' = (1/3)x ^{– 2/3};

Похідні степеневих функцій

• Степенева функція: Якщо

${\displaystyle f(x)=x^{r}\,}$,

де r — будь-яке дійсне число, то

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,}$,

для будь-яких випадків коли визначена функція. Наприклад, якщо r = 1/2, то

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\tfrac {1}{2}}}\,}$.

Тут функція визначена тільки для додатних x. Якщо r = 0, це правило повторює правило константи.

Похідні показникових та логарифмічних функцій

• Показникова та логарифмічна функції:

${\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}$

${\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a}$

${\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}},\quad x>0}$

${\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}$

Похідні тригонометричних функцій

• Тригонометричні функції:

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x.}$

${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x.}$

${\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.}$

• Обернені тригонометричні функції:

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

${\displaystyle (\operatorname {arctg} x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

Похідна суми

(f + g)' = f ' + g'

Правилo:  Похідна суми диференційовних функцій дорівнює сумі їх похідних.

Похідна добутку

(f(x)∙g(x))' = f '(x)∙g(x)  + f(x)∙g'(x)

Похідна частки

(f(x)/g(x))' = [f '(x)∙g(x)  –  f(x)∙g'(x)]/g²(x),

де  g(x) – не дорівнює нулю. 

Похідна складеної функції (функції від функції)

Якщо у = f(u) і u = u(х), тобто y = f(u(х)), то

f '(u(х)) = f_u'(u)∙u_x'(x)

(е^х)' = е^х ;  зокрема (е ^f(х))' =  f '(х)∙е^f(х));

(а^х)' = а^хlnа,  (а > 0 - стала); зокрема (а^f(х))' = f '(х)∙а^f(х)lnа;   

(x^х)' = x^х(lnx +1),  (а > 0 - стала); зокрема (x^f(х))' = f '(х)∙x^f(х)(lnx +1);

(sinx)' = cosx;  зокрема (sinf(x))' = f '(x)∙cosf(x);

(cosx)' = -sinx;   зокрема  (cos f(x))' = -f '(x)∙sinf(x);    

(tgx)' = 1/cos²x;  зокрема (tg f(x))' = f '(x)/cos² f(x);

(ctgx)' = -1/sin²x;  зокрема (ctg f(x))' = -f '(x)/sin² f(x);

(arcsinx)' = 1/(1-x²)^0,5;  зокрема (arcsin f(x))' = f '(x)/(1-f(x)²)^0,5; 

(arccosx)' = -1/(1-x²)^0,5;     зокрема  (arccos f(x))' = -f '(x)/(1-f(x)²)^0,5; 

(arctgx)' = 1/(1+x²);  зокрема (arctg f(x))' = f '(x)/(1+f(x)²); 

(arcctgx)' = -1/(1+x²);  зокрема (arcctg f(x))' = -f '(x)/(1+f(x)²). 




Приклад А0.

Приклад А1.

Приклад 1.

(2х⁴ + sin³5х)' = (2х⁴)' + (sin³5х)' =  2(х⁴)' + 3sin²5х•(sin5х)' =

= 2•4х³ + 3sin²5х•соs5х•(5х)' =  8х³ + 3sin²5х•соs5х•5(х)' =

= 8х³ + 15sin²5х•соs5х.

Приклад 2.

Приклад 3-а.

Приклад 3-б.



Приклад 4. Знайти похідні функцій

ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції оберненої пропорційності(простого дробу) користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) = [1/(х+а)]⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿn!/(х+а)]⁽ⁿ⁺¹⁾.

Для знаходження похідної будь-якого порядку дробово-лінійної функції користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) = [(aх+b)/(cх+d)]⁽ⁿ⁾ =[ (-1)ⁿn!(bc-ad])/[c²(х+d:c)]⁽ⁿ⁺¹⁾].

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції синуса користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =( sin ax)⁽ⁿ⁾= aⁿ sin (ax + 0,5pn).

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції косинуса користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(cos ax)⁽ⁿ⁾= aⁿсos(ax + 0,5pn).

Для знаходження похідної будь-якого порядку степеневої функції користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =( kx^a)⁽ⁿ⁾= ka(a-1)…(a-n+1)x^a-n.

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції  експоненти користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(ke^x)⁽ⁿ⁾= ke^x.

Для знаходження похідної будь-якого порядку показникової функції  користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(ka^x)⁽ⁿ⁾= kа ^x(lna)ⁿ.

Для знаходження похідної будь-якого порядку логарифмічної функції  користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(klog_ax)⁽ⁿ⁾=(-1) ^n-1k(n-1)!/xⁿ(lna).

Для знаходження похідної будь-якого порядку функції натурального логарифма користуються формулою:

y⁽ⁿ⁾(х) =(klnx)⁽ⁿ⁾=(-1) ^n-1k(n-1)!/xⁿ.

Визначні границі

В українській мові термін швидкість вживається також не в механічному сенсі для визначення часових характеристик перебігу довільних процесів: наприклад, швидкість хімічної реакції, швидкість нагрівання, швидкість замерзання, швидкість випаровування. Якщо певний процес характеризується залежною від часу величиною ${\displaystyle f(t)}$, то миттєва швидкість перебігу цього процесу визначається похідною ${\displaystyle {\frac {df(t)}{dt}}}$. 
Відповідно, середня швидкість за проміжок часу ${\displaystyle \Delta t}$ визначається як ${\displaystyle {\frac {f(t_{0}+\Delta t)-f(t_{0})}{\Delta t}}}$.
ЕЛЕКТРИЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

ЕКОНОМІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

ХІМІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ

За зміною ентропії можна визначити напрямок і межу перебігу самодовільного процесу лише в ізольованих системах. Однак на практиці доводиться мати справу й з іншими системами. Для характеристики перебігу процесів у цих системах були введені інші термодинамічні функції.Функцією стану називають характеристичною, якщо на її основі та на основі її похідних можна явно виразити термодинамічні властивості системи і дають змогу визначити напрям і межу того чи іншого спонтанного процесу.Характеристичними функціями є:

• Ентальпія: H = U + PV;
• Вільна енергія (енергія Гелмгольца або ізохорно-ізотермічний потенціал): F = U – TS;
• Термодинамічний потенціал (енергія Гіббса або ізобарно-ізотермічний потенціал):

G = U – TS + PV = H – TS.

Після диференціювання цих виразів одержимо:

dH = dU + PdV + VdP, враховуючи, що dU = ТdS – PdV, тоді

dH = ТdS + VdP; Н = f(S, P), U =f(S, V);

dF = – PdV – SdT; F = f(V, T);

dG = – SdT + VdP = VdP – SdT; G = f(P, T).

Як видно з вибраних форм характеристичних функцій, термодинамічний потенціал Гіббса є найбільш вигідний, оскільки визначається зміною температури і тиску. Якраз ці величини є найбільш простими і зручними для вимірювання. Функції ∆U i∆H також є термодинамічними потенціалами, бо їх зменшення при відповідних сталих дорівнює максимальній корисній роботі.

Ізохорний і ізобарний потенціали є функціями стану, і їх використовують для вирішення питання напрямку процесу в умовах термодинамічної рівноваги. Якщо ∆F і ∆G дорівнюють нулю, то система перебуває в рівновазі, якщо ∆F < 0 і ∆G < 0, то процес відбувається самодовільно з перетворенням енергії у корисну роботу. У випадку, коли ∆F > 0 і ∆G > 0, процес несамочинний, зміна стану системи відбувається тільки при використанні зовнішньої роботи. Так само як енергія Гельмгольца так і енергія Гіббса характеризують працездатність системи і визначають ту частину енергії, яка в ізохорно-ізотермічному та ізобарно-ізотермічному процесах перетворюється у роботу.

Для розрахунку зміни функцій Гіббса і Гельмгольца в результаті хімічних реакцій найчастіше застосовують рівняння Гіббса-Гельмгольца в вигляді:

ΔG = ΔН – TΔS;

ΔF = ΔU – TΔS.

Для обчислень за останніми рівняннями використовують табличні значення стандартних ентальпій утворення та згоряння речовин, а також їх абсолютних ентропій.

Термодинаміка хімічної рівноваги хімічний потенціал

Часткові похідні від інших термодинамічних потенціалів (при відповідних сталих) дорівнюють хімічному потенціалу компонента:

Таким чином, хімічний потенціал даної речовини рівний частинній похідній від будь-якого термодинамічного потенціалу даної фази до числа молів даної речовини при умові, що інші термодинамічні параметри і число молів решти речовин залишаються сталими.

Хімічний потенціал компонента залежить від температури, природи компонента та його вмісту в системі.

Для 1 моль ідеального газу за Т = const маємо:

Інтегруючи це рівняння, отримуємо:

G = RT ln p + const.

За стандартних умов const = G°, деG° – стандартна енергія Гіббса. Отже:

G = G⁰+ RT ln p.

Для компонента суміші ідеальних газів:

µ_і=µ⁰_і+ RT lnр_i,

де µ⁰_і– стандартний хімічний потенціал, а р_i– парціальний тиск компонентаі.

Для ідеальних розчинів:

µ_і=µ⁰_і+ RT lnс_i,

де с_i – концентрація компонента в розчині.

Для реальних розчинів концентрацію замінюють активністю:

µ_і=µ⁰_і+ RT lnа_i.

Поняття про активність було введено Льюїсом. Активність –це величина, підстановка якої замість концентрації у термодинамічні рівняння робить їх справедливими для реальних систем.

Активність дорівнює добутку концентрації на коефіцієнт активності:

a_i= c_i∙ y_i або a_i= c_i∙ γ_i,

де у_i і γ_i –відповідно молярний і моляльний коефіцієнти активності.

Хімічний потенціал є функцією, що визначає напрямок і межі довільного переходу даного компонента з однієї фази в іншу при відповідних перетвореннях (шляхом випаровування, розчинення, кристалізації і взаємодії).

Загальною умовою можливого перебігу довільного процесу є нерівність

,

а стану рівноваги відповідає рівність

,

де µ – хімічний потенціал; dn – зміна кількості молів речовини.