Формула Ньютона-Лейбніца

Формула Ньютона-Лейбніца

Т. Якщо функція  неперервна на відрізку , а функція  є первісною для  на , то справедлива формула

      (1)

Доведення

Так як функції  та  є первісними для функції  на відрізку , то різниця  дорівнює деякій константі  на всьому проміжку , тобто

Спочатку покладемо  а потім  то отримаємо

 

Так як  , то  а тому , де 

Теорему доведено.

Часто замість різниці  пишуть  і тоді формула (1) приймає вигляд .

Таким чином    

Формула Ньютона – Лейбніца дозволяє обчислювати визначений інтеграл без інтегральної суми та граничного переходу в тих випадках, коли відомо хоча б одна первісна підінтегральної функції.

Розглянемо приклади застосування формули Ньютона-Лейбніца.

Пр 1. Обчислити  
Так як функція  є первісною для , то за формулою Ньютона -Лейбніца

.

Пр 2. Обчислити