Алгоритми інтерполяції квадратними поліномами

Практична робота 20. «Алгоритми інтерполяції квадратними поліномами трьох точкової статистики на мові Pascal»

Завдання 1. Створити алгоритм який за трьома відомими точками в прямокутній  системі координат генерує формулу квадратичної функції використовуючи розв’язання  системи 3-х рівнянь з трьома невідомими методом Крамера. Ця задача називається «інтерполяція квадратичними поліномами» або знаходження «квадратичного тренду».

Розв’язання.  Випадковим чином задаються три точки деякої статистики:  (х1; у1), (х2; у2), (х3; у3). Вважається, що ці три точки належать деякій параболі,  що записується  формулою вигляду: у=ах²+bx+c.  Підставляємо кожну точку у формулу і отримуємо систему трьох рівнянь з трьома невідомими а, b, c. 

{| aх1*х1 + bх1 + c * 1 = y1 | }

{| aх2*х2 + bх2 + c * 1 = y2 }

{| aх3*х3 + bх3 + c * 1 = y1 }

Розв’язуємо систему відносно  а, b, c  за допомогою метода визначників (метод Крамера).

Program  Interpoljacia;

var a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, z, e, ex, ey, ez, x1, x2, x3, y1, y2, y3: real;

begin

x1:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y1:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 2+random(3) ;   

writeln( ' Якщо перша точка, що належить квадратичній функції х1=', x1, 'y1=', y1); writeln;

x2:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y2:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 3+random(3) ;   

writeln( ' Якщо друга точка, що належить квадратичній функції х2=', x2, 'y2=', y2); writeln;

x3:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 1+random(3) ; 

y3:=-(1+random(3)) *(-2+random(1)) *(-random(2)) + 4+random(3) ;   

writeln( ' Якщо третя точка, що належить квадратичній функції х3=', x3, 'y3=', y3); writeln;

a1:= x1*x1;    a2:= x2*x2;  a3:= x3*x3;   b1:= x1;    b2:= x2;  b3:= x3;  c1:=1;    c2:=1;  c3:=1;

d1:=y1;   d2:=y2;  d3:=y3;

 e:= (a1 * b2 * c3 + b1 * c2 * a3 + c1 * a2 * b3-a3 * b2 * c1-b3 * c2 * a1-c3 * a2 * b1);

 ex:=(d1 * b2 * c3 + b1 * c2 * d3 + c1 * d2 * b3-d3 * b2 * c1-b3 * c2 * d1-c3 * d2 * b1);

 ey:=(a1 * d2 * c3 + d1 * c2 * a3 + c1 * a2 * d3-a3 * d2 * c1-d3 * c2 * a1-c3 * a2 * d1);

 ez:=(a1 * b2 * d3 + b1 * d2 * a3 + d1 * a2 * b3-a3 * b2 * d1-b3 * d2 * a1-d3 * a2 * b1);

 if (e=0) and ((ex=0) or (ey=0) or (ez=0)) then

    writeln ( 'безліч рішень')

 else if (e <> 0) and ((ex = 0) or (ey = 0) or (ez = 0)) then

    writeln ( 'немає рішень')

 else begin

    x:=ex/e;     y:=ey/e;     z:=ez/e;

writeln ( 'Головний визначник е =', e);writeln ( 'a =', x); writeln ( 'b =', y); writeln ( 'c =', z);

writeln( ' Шукана квадратична функція  у=', x,  '*x*x+( ' ,  y,  ' )x+( ',  z,  ' ) ');  end; end.